Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$
Ta chuẩn hóa $xy+yz+zx=3$. Ta chỉ cần chứng minh $$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8$$
Thật vậy: $$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\geq 8\Leftrightarrow 3(x+y+z)-xyz\geq 8$$
Bất đẳng thức trên đúng do $xy+yz+zx=3$ nên $x+y+z\geq 3,\; xyz\leq 1$
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$
Ta sẽ dùng 1 bất đẳng thức khá quen thuộc
$9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$ ( chứng minh đơn giản, biến đổi tương đương ta thu được $xy(x+y)+yz(y+z)+xz(z+x)\geq 6xyz$ )
Mà $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+xz)$
$\Rightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt{3(xy+yz+zx)}(xy+yz+xz)\geq 8\sqrt{3}(\sqrt{xy+yz+zx})^{3}$
Lấy căn bậc 3 hai vế ta được
$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$
Best teacher of seaver sea
0 members, 1 guests, 0 anonymous users