Chủ đề này có 2 trả lời

[marcoreus101]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$

[davidsilva98]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$

 

Ta chuẩn hóa $xy+yz+zx=3$. Ta chỉ cần chứng minh $$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8$$

Thật vậy: $$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\geq 8\Leftrightarrow 3(x+y+z)-xyz\geq 8$$

Bất đẳng thức trên đúng do $xy+yz+zx=3$ nên $x+y+z\geq 3,\; xyz\leq 1$

[lequangnghia]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$

Ta sẽ dùng 1 bất đẳng thức khá quen thuộc

$9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$   ( chứng minh đơn giản, biến đổi tương đương ta thu được $xy(x+y)+yz(y+z)+xz(z+x)\geq 6xyz$ )

Mà $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt{3(xy+yz+zx)}(xy+yz+xz)\geq 8\sqrt{3}(\sqrt{xy+yz+zx})^{3}$

Lấy căn bậc 3 hai vế ta được 

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$