cho x^2+xy+y^2=3, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A= x^2-xy+y^2
Tìm min, max $ A= x^2-xy+y^2$
#1
Posted 29-01-2016 - 22:47
#2
Posted 29-01-2016 - 23:09
cho x^2+xy+y^2=3, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A= x^2-xy+y^2
Tổng quát:
từ giả thuyết suy ra
$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{3}}=\frac{A}{3}$
$\Rightarrow 3(x^{2}-xy+y^{2})=A(x^{2}+xy+y^{2})$
$\Rightarrow x^{2}(A-3)+xy(A+3)+y^{2}(A-3)=0$ (1)
Nếu $y=0$ thì $x=\sqrt{3}$ hay $x=-\sqrt{3}$
Với từng (x,y) bạn thay vào tìm giá trị A. (2)
Với y khác 0
(1)$\Rightarrow (A-3)(\frac{x}{y})^{2}+(A+3)\frac{x}{y}+A-3=0$
Nếu $A=3$ ta giải tìm x,y
Nếu A khác 3
$\Delta =(A+3)^{2}-4(A-3)^{2}=-3A^{2}+30A-27\geq 0\Rightarrow 1\leq A\leq 9$
So sánh giá trị thu được của A tại (2), A=3 và $1\leq A\leq 9$ ta chọn max và min của A
- nguyentaitue2001 likes this
Best teacher of seaver sea
#3
Posted 29-01-2016 - 23:34
$\frac{x^2+y^2}{2}\geq xy \Rightarrow \frac{3}{2}(x^2+y^2) \geq x^2+xy+y^2=3\Rightarrow x^2+y^2 \geq2$
$A \geq x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}\geq \frac{2}{2}=1$
$\frac{x^2+y^2}{2}\geq -xy\Rightarrow -\frac{x^2+y^2}{2}\leq xy\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{2} \leq x^2+xy+y^2=3\Rightarrow x^2+y^2 \leq 6$
$A \leq x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{3}{2}(x^2+y^2)\leq\frac{3}{2}.6=9$
Vậy $\left\{\begin{matrix} Min A=1\\ Max A=9 \end{matrix}\right.$
Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users