Chủ đề này có 3 trả lời

[kudoshinichihv99]

Cho các số x,y,z thỏa mãn $0\leq x\leq y\leq z$.

Tìm max của: $P=xy^2+yz^2+zx^2-xyz-\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{6}$

 

[phamngochung9a]

Cho các số x,y,z thỏa mãn $0\leq x\leq y\leq z$.

Tìm max của: $P=xy^2+yz^2+zx^2-xyz-\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{6}$

$(x-y)(y-z)\geq 0\Rightarrow xy+yz\geq zx+y^{2}\Rightarrow xy^{2}+zx^{2}\leq x^{2}y+xyz\\\Rightarrow P\leq x^{2}y+yz^{2}-\frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{6}$

Đặt $x^{2}+z^{2}=t$, ta có:

$P\leq yt-\frac{(y^{2}+t)^{2}}{6}=-\frac{t^{2}}{6}+t\left ( y-\frac{y^{2}}{3} \right )-\frac{y^{4}}{6}\\\Rightarrow 6P\leq -t^{2}+2t(3y-y^{2})-y^{4}\leq \Delta ^{'}_{t}=9y^{2}-6y^{3}=-3(2y+1)(y-1)^{2}+3\leq 3\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$

Vậy $max$ $P$$=\frac{1}{2}$ khi $x=y=z=1$

[tranductucr1]

$(x-y)(y-z)\geq 0\Rightarrow xy+yz\geq zx+y^{2}\Rightarrow xy^{2}+zx^{2}\leq x^{2}y+xyz\\\Rightarrow P\leq x^{2}y+yz^{2}-\frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{6}$

Đặt $x^{2}+z^{2}=t$, ta có:

$P\leq yt-\frac{(y^{2}+t)^{2}}{6}=-\frac{t^{2}}{6}+t\left ( y-\frac{y^{2}}{3} \right )-\frac{y^{4}}{6}\\\Rightarrow 6P\leq -t^{2}+2t(3y-y^{2})-y^{4}\leq \Delta ^{'}_{t}=9y^{2}-6y^{3}=-3(2y+1)(y-1)^{2}+3\leq 3\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$

Vậy $max$ $P$$=\frac{1}{2}$ khi $x=y=z=1$

làm sao biết chắc được $-3(2y+1)(y-1)^2 +3 \leq 3$

[phamngochung9a]

làm sao biết chắc được $-3(2y+1)(y-1)^2 +3 \leq 3$

Vì y> 0 rồi bạn 

Mà đây là kiến thức bình thường chứ mấy (hình như của lớp 6) 

$\left\{\begin{matrix} 2y+1> 0 & & \\ (y-1)^{2}\geq 0 & & \\ -3<0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow -3(2y+1)(y-1)^{2}\leq 0\Rightarrow -3(2y+1)(y-1)^{2}+3\leq 3$ 

Thực ra thì ở đó khảo sát hàm số $f(y)=9y^{2}-6y^{3}$ trên $\left [0;+\infty \right )$ cũng ra nhưng mình nhác gõ nên khai triển kiểu đó thôi