Cho p,q là 2 số nguyên tố thoả mãn p-1 chia hết cho q và $q^3$ -1 chia hết cho p
CMR:p+q là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 01-02-2016 - 11:56
Ta có $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1) \vdots p$
Vì $gcd(q-1,q^2+q+1)=1$ nên xét 2 trường hợp :
TH1 : $q-1 \vdots p$
Suy ra $(q-1)(p-1) \vdots pq$ điều này vô lí vì $(p-1)(q-1) \le 0$ ($p,q$ là số nguyên tố)
TH2 : $q^2+q+1 \vdots p$
Suy ra $pq|(q^2+q+1-p)$
Đặt $q^2+q+1-p=mpq$
Vì $p-1 \vdots q$ suy ra $p>q$
Như vậy $q^2+q+1-p=mpq<q^2+q=q(q+1) \le pq$
Suy ra $m \in$ {$0;1$}
$m=0$ suy ra $p=q^2+q+1$ suy ra $p+q=(q+1)^2$ là số chính phương
$m=1$ suy ra $q^2+q+1=p(q+1)$
Suy ra $q^2 \vdots q+1$
$\Leftrightarrow q=0,q=-2$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 01-02-2016 - 18:29
Quá hay!Mình cũng làm như bạn nhưng TH2 mình không giải đc Góp ý 1 chút là phần đầu bạn xét UCLN bị thiếu có lẽ do vội nhưng cơ bản thì ý tưởng của bạn rất hay!Thanks nhiều
Không sao bạn ạ!Những TH khác cũng thế thôi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh