Chủ đề này có 2 trả lời

[kudoshinichihv99]

1.Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x=min\left \{ x;y;z \right \}$. Tìm min của $P=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{3z}{x+z}$

2.Cho a,b,c>0 và abc=1. Tìm max:$P=4\sqrt[3]{\frac{2a}{7a^2+3b^2+6c}}+4\sqrt[3]{\frac{2b}{7b^2+3c^2+6a}}+\frac{abc^2}{a+b+c}$

[haichau0401]

1.Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x=min\left \{ x;y;z \right \}$. Tìm min của $P=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{3z}{x+z}$

Theo giả thiết thì $z\geq x$

Do $x,y,z$ là các số thực dương nên:

$P=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{3z}{x+z}$

$=\frac{1}{1+\dfrac{y}{x}}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}+1}+\dfrac{3}{\dfrac{x}{z}+1}$

Áp dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (có thể chứng minh bằng cách tương đương)

Khi đó:

$P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{\dfrac{z}{x}}}+\frac{3}{\dfrac{x}{z}+1}=\frac{2}{1+t}+\frac{3}{t^2+1}$ (với $t=\sqrt{\frac{z}{x}}\geq 1$)

Đến đây khảo sát hàm!

[demon311]

Theo giả thiết thì $z\geq x$

Do $x,y,z$ là các số thực dương nên:

$P=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{3z}{x+z}$

$=\frac{1}{1+\dfrac{y}{x}}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}+1}+\dfrac{3}{\dfrac{x}{z}+1}$

Áp dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (có thể chứng minh bằng cách tương đương)

Khi đó:

$P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{\dfrac{z}{x}}}+\frac{3}{\dfrac{x}{z}+1}=\frac{2}{1+t}+\frac{3}{t^2+1}$ (với $t=\sqrt{\frac{z}{x}}\geq 1$)

Đến đây khảo sát hàm!

BĐT chỉ đúng với $ab \ge 1$. Nếu $ab \le 1$ thì đổi chiều

Ở đây thì đúng vì $x \le z$