Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
#1
Posted 01-02-2016 - 18:04
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
#2
Posted 01-02-2016 - 18:18
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
Đối với dạng bài tập này, ta thấy dấu cần chứng minh là $\leq$ thì nên "để ý" ở phần mẫu, thường thường là sử dụng bđt bu-nhi (kinh nghiệm cá nhân)
Ta có:
$(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+b^2+a^2)(a^2+a^2+c^2)\geq (a^2+ab+ac)^2=a^2(a+b+c)^2=9a^2$
Tương tự ta đc:
$(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)\geq 9b^2$
$(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)\geq 9c^2$
Khi đó ta có:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \sum \frac{a^3}{9a^2}=\sum \frac{a}{9}=\frac{1}{3}$
$dpcm$
Edited by haichau0401, 01-02-2016 - 18:19.
- tpdtthltvp, Minhnguyenthe333, Tuituki and 2 others like this
#3
Posted 01-02-2016 - 18:18
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
Đã có tại đây
- Minhnguyenthe333 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users