Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Gọi $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác có 3 đường cao $h_a,h_b,h_c$.Tìm tam giác sao cho biểu thức $\frac{(a+b+c)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}$ đạt $GTNN$

[tpdtthltvp]

Gọi $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác có 3 đường cao $h_a,h_b,h_c$.Tìm tam giác sao cho biểu thức $\frac{(a+b+c)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}$ đạt $GTNN$

Giả sử tam giác đó là $ABC$, $AH,BI,CK$ là 3 đường cao.

Lấy $E$ đối xứng với $A$ qua đường vuông góc với $CK$ tại $C$.

Xét 3 điểm $B,C,E$ có :

$BE\leq BC+CE\Rightarrow BE^2\leq (BC+CE)^2\Rightarrow c^2+4h_c^2\leq (a+b)^2\Rightarrow 4h_c^2\leq (a+b)^2-c^2$

Lập các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế, ta có: 

$4h_a^2+4h_b^2+4h_c^2\leq (a+b+c)^2\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\geq 4$

Dấu "=" xảy ra khi $\Delta ABC$ đều.