Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

1/Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$.CMR
$ (a+b)^6+(b+c)^6+(c+a)^6 \geqslant \frac{16}{61}(a^6+b^6+c^6)$

2/Cho $x,y>0$.CMR:
$x+y+\frac{(x-y)^2}{2\sqrt{2(x^2+y^2)}}\leqslant \sqrt{2(x^2+y^2}\leqslant x+y+\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 02-02-2016 - 22:34

[quoccuonglqd]

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

$(a+b)^{6}+(b+c)^{6}+(c+a)^{6}\geqslant \frac{16}{61}(a^{6}+b^{6}+c^{6}+(a+b+c)^{6})$

$a,b,c\in \mathbb{R}$,đổi biến $(a,b,c)\rightarrow (x+y-z,y+z-x,z+x-y)$

Biến đổi bài toán thành $4\sum x^{6}\geqslant \sum x^{2}y^{4}+\sum x^{4}y^{2}+6x^{2}y^{2}z^{2}$(luôn đúng)

Đẳng thức tại $a=b=c=0$

p/s:bài toán vẫn còn 2 lời giải khác(theo mình),nhưng đều phải sử dụng khai triển và xét hàm 

[quoccuonglqd]

2/Ý trái 

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^{2}2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}\geqslant (x-y)^{2})$

$\Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\geqslant x+y$(luôn đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 03-02-2016 - 12:20

[quoccuonglqd]

Ý phải 

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geqslant 2(x+y)\frac{(x-y)^{2}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\geqslant x+y$(luôn đúng)