Chủ đề này có 5 trả lời

[Minhnguyenthe333]

1/Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$.CMR: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant (ab+bc+ca-1)^2$

2/Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geqslant 1$
CMR: $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$

[phamngochung9a]

1/Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$.CMR: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant (ab+bc+ca-1)^2$

2/Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geqslant 1$
CMR: $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$

1/

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)=(a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1)(c^{2}+1)\\=\left [ (a+b)^{2}+(ab-1)^{2} \right ](c^{2}+1)\\\geq (ab+ab+bc-1)^{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 03-02-2016 - 19:59

[Quoc Tuan Qbdh]

2/Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geqslant 1$
CMR: $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có : $(a+b+1)(a+b+c^{2}) \geq (a+b+c)^{2}$
Suy ra : $1 \leq \sum \frac{1}{a+b+1} \leq \frac{2\sum a + \sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$
Nên : $2\sum a + \sum c^{2} \geq (a+b+c)^{2}$

Khai triển ra rút gọn $->Q.E.D$
Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 03-02-2016 - 20:12

[phamngochung9a]

1/Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$.CMR: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant (ab+bc+ca-1)^2$

2/Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geqslant 1$
CMR: $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$

2/

Từ giả thiết, ta có:

$2\geq \sum \left ( 1-\frac{1}{a+b+1} \right )=\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}+a+b}\\\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}+2(a+b+c)}$

Quy đồng và rút gọn, ta có điều phải chứng minh

[tpdtthltvp]

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có : $(a+b+1)(a+b+c^{2}) \geq (a+b+c)^{2}$
Suy ra : $1=\sum \frac{1}{a+b+1} \leq \frac{2\sum a + \sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$
Nên : $2\sum a + \sum c^{2} \geq (a+b+c)^{2}$

Khai triển ra rút gọn $->Q.E.D$
Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Bài này anh làm sai rồi!

$1\leq \sum \frac{1}{a+b+1}$ chứ đâu phải $1=\sum \frac{1}{a+b+1}$ nên không thể suy ra thế!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 03-02-2016 - 20:12
Quoc Tuan Qbdh : đã fix

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài này anh làm sai rồi!

$1\leq \sum \frac{1}{a+b+1}$ chứ đâu phải $1=\sum \frac{1}{a+b+1}$ nên không thể suy ra thế!

vẫn suy ra được mà . vì $\sum \frac{1}{a+b+1}$ bị chặn dưới bởi $1$ và chặn trên bởi $\frac{2\sum a+\sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$
suy ra : $\frac{2\sum a+\sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}} \geq 1$