1. Cho x,y,z > 0, xyz = 1. Tìm GTLN của :
$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
2. Cho x,y,z > 0. Chứng minh :
$\sum \frac{ab}{a^{2}+bc+ca}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$
1. Cho x,y,z > 0, xyz = 1. Tìm GTLN của :
$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
2. Cho x,y,z > 0. Chứng minh :
$\sum \frac{ab}{a^{2}+bc+ca}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
1. Cho x,y,z > 0, xyz = 1. Tìm GTLN của :
$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
Vì $xyz=1$ nên ta đổi biến $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$
Dự đoán $MinP=\frac{3}{\sqrt{2}}$ nên ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành:
$\sum \sqrt{\frac{b^2}{a^2+b^2}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Tuy nhiên,đây là 1 bất đẳng thức khá quen thuộc của Vasile (Anh có thế xem chứng minh ở đây)
Vậy ta tìm được $MinP=\frac{3}{\sqrt{2}}$.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-02-2016 - 00:32
2. Cho x,y,z > 0. Chứng minh :
$\sum \frac{ab}{a^{2}+bc+ca}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:
$(a^2+bc+ca)(b^2+bc+ca) \geq (ab+bc+ca)^2$
$VT=\sum \frac{ab(b^2+bc+ca)}{(a^2+bc+ca)(b^2+bc+ca)} \leq \sum \frac{\sum ab^3+2abc(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2}$
Vậy để kết thúc bài toán ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{\sum ab^3+2abc(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$
$\leftrightarrow \sum ab^3+2abc(a+b+c) \leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a$
$\leftrightarrow a+b+c \leq \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}$
Tuy nhiên đánh giá trên đúng theo bđt Cauchy-Swarchz
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-02-2016 - 00:32
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh