Chủ đề này có 1 trả lời

[royal1534]

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $a+b+c=2$

Chứng minh:$\frac{ab}{\sqrt{2c+a+b}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+a+c}} \leq \sqrt{\frac{2}{3}}$

[Chris yang]

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $a+b+c=2$

Chứng minh:$\frac{ab}{\sqrt{2c+a+b}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+a+c}} \leq \sqrt{\frac{2}{3}}$

Cauchy Schwarz

$VT^2\leq (ab+bc+ac)\sum \frac{ab}{2c+a+b}$

Lại có $\sum \frac{ab}{2c+a+b}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ac}{b+c} \right )=\frac{a+b+c}{4}$ ( BCS dạng công mẫu)

$\Rightarrow VT^2\leq \frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)}{4}\leq \frac{(a+b+c)^3}{12}=\frac{2}{3}\Rightarrow VT\leq \sqrt{\frac{2}{3}}$ (đpcm)