Chủ đề này có 1 trả lời

[fatcat12345]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa:

$\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 2$

Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{c}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fatcat12345: 04-02-2016 - 13:49

[Chris yang]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa:

$\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 2$

Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{c}}$

 

Từ điều kiện đề bài suy ra tồn tại $x,y,z$ sao cho $(a,b,c)=(\frac{x+y}{z},\frac{y+z}{x},\frac{z+x}{y})$

 

Bài toán chuyển thành chứng minh $\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )$

 

Áp dụng BĐT AM_GM với Bunhiacopxki ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt{\frac{x+y}{z}} \right )^2\geq 3\sum \sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}\geq 3\sum \left ( \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}} \right )\geq 3\left ( \frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}+3 \right )$

 

Đổi $\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}},\sqrt{\frac{y}{x+z}},\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )=(m,n,p)$. Ta có $\sum \frac{m^2}{m^2+1}=1$

 

Ta cần chứng minh $3(2m^2+2n^2+2p^2+3)\geq 4(m+n+p)^2\Leftrightarrow 2(m^2+n^2+p^2)+9\geq 8(mn+mp+np)$ $(1)$

 

Thật vậy, $m^2+n^2+p^2+3=\left ( \sum \frac{m^2}{m^2+1} \right )\sum (m^2+1)\geq (m+n+p)^2\Rightarrow 3\geq 2(mn+mp+np)$

 

$\Rightarrow 2(m^2+n^2+p^2)+9\geq 8(mn+mp+np)$. BĐT $(1)$ được chứng minh. Bài toán được giải quyết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 27-02-2016 - 21:20