Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 126]

 Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c>0$. Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau luôn đúng:

    $(\frac{a}{a+b})^{2}+(\frac{b}{b+c})^{2}+(\frac{c}{c+a})^{2}-\frac{3}{4}\geq k(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{3}{2})$

 

 

 

 

P/s: Sáng tạo từ bài của thầy Luật trên báo THTT.

[Nguyenhuyen_AG]

 Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c>0$. Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau luôn đúng:

    $(\frac{a}{a+b})^{2}+(\frac{b}{b+c})^{2}+(\frac{c}{c+a})^{2}-\frac{3}{4}\geq k(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{3}{2})$

P/s: Sáng tạo từ bài của thầy Luật trên báo THTT.

 

Cho $c \to 0$ và đặt $x = \frac{b}{a}$ bất đẳng thức trên trở thành

\[\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{4} \geqslant k\left ( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2} \right ).\]

Đến đây tiếp tục cho $x \to 0$ ta được $k \leqslant \frac{5}{2}.$ Ngoài ra với $k = \frac{5}{2}$ thì bất đẳng thức đúng nên đây cũng là giá trị lớn nhất cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 05-02-2016 - 13:02

[Nguyenhuyen_AG]

Tiếp đến ta chứng minh bài toán trong trường hợp $k = \frac{5}{2}.$ Đổi biển, ta đưa bài toán về chứng minh

\[\frac{1}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{(y^2+1)^2}+\frac{1}{(z^2+1)^2}-\frac{3}{4} \geqslant \frac{5}{2}\left ( \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}-\frac{3}{2} \right ),\]

trong đó $x,\,y,\,z$ là ba số dương thỏa mãn $xyz=1.$

 

Đặt

\[f(x,y,z) = \frac{1}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{(y^2+1)^2}+\frac{1}{(z^2+1)^2}-\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\left ( \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}-\frac{3}{2} \right ).\]

Giả sử $z = \max\{x,y,z\}$ thì $z \geqslant 1$ và $xy \leqslant 1,$ khi đó

\[\begin{aligned}f(x,\,y,\,z)-f(\sqrt{xy},\,\sqrt{xy},\,z) & = \frac{1}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{(y^2+1)^2}-\frac{2}{(xy+1)^2}+\frac{5}{2}\left(\frac{2}{xy+1}-\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{y^2+1}\right) \\& \geqslant  \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1} \right )^2-\frac{2}{(xy+1)^2}+\frac{5}{2}\left(\frac{2}{xy+1}-\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{y^2+1}\right) \\& = \frac{(1-xy)(x-y)^2[4xy(x^2+y^2)+2(x^2+y^2)+5x^3y^3+3x^2y^2+3xy+1]}{2(x^2+1)^2(y^2+1)^2(xy+1)^2} \geqslant 0.\end{aligned}\]

Như vậy $f(x,\,y,\,z) \geqslant f(\sqrt{xy},\,\sqrt{xy},\,z).$ Việc còn lại là chứng minh $f(\sqrt{xy},\,\sqrt{xy},\,z) \geqslant 0,$ nhưng việc này đồng nghĩa với

\[f\left ( t,\,t,\,\frac{1}{t^2} \right )=\frac{t^2(3t^6+2t^4+5t^2+2)(t^2-1)^2}{2(t^2+1)^2(t^4+1)^2} \geqslant 0.\]

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 05-02-2016 - 14:09