Chủ đề này có 1 trả lời

[anticp2015]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$. Chứng minh rằng $xy+yz+zx+9\geq 4(x+y+z)$

[Minhnguyenthe333]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$. Chứng minh rằng $xy+yz+zx+9\geq 4(x+y+z)$

Áp dụng bđt phụ $(x+y+z)(xy+yz+zx)\geqslant 9xyz$
Từ giả thiết$=>(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\leqslant \frac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{9}$
$<=>xy+yz+zx\geqslant \frac{9(x+y+z)^2}{x+y+z+18}$ (1)
Mặt khác $\frac{(x+y+z)^2}{3}\geqslant xy+yz+zx<=>\frac{(x+y+z)^2}{3}\geqslant \frac{9(x+y+z)^2}{x+y+z+18}$
$=>x+y+z\geqslant 9$
Sử dụng (1) ta có bđt cầm c/m$<=>\frac{9(x+y+z)^2}{x+y+z+18}+9\geqslant 4(x+y+z)$
$<=>5(x+y+z)^2-63(x+y+z)+162\geqslant 0<=>(x+y+z-9)[5(x+y+z)-18]\geqslant 0$
Điều này luôn đúng vì $x+y+z\geqslant 9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=3$