Tìm các số tự nhiên a,b sao cho $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ là số nguyên tố
Tìm các số tự nhiên a,b sao cho $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ là số nguyên tố
#1
Posted 08-02-2016 - 10:41
"™ I will be the best ™"
______Wukong, League Of Legends
#2
Posted 08-02-2016 - 13:22
Tìm các số tự nhiên a,b sao cho $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ là số nguyên tố
Bổ đề
Chứng minh: $3^{3n+1} + 10 \vdots 13 $
Với $n=0,1$ đúng
Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh đúng với $n=k+1 $
Ta có $3^{3k+4} +10 = 27.3^{3k+1} +10=26.3^{3k+1} + 3^{3k+1} +10 \vdots 13 $
Do đó $3^{3n+1} +10 \vdots 13 $
Ta có $9a^2 + 3b -86 \equiv 1 $ (mod 3 )
Do đó $A \vdots 13 $
A nguyên tố $<=> A=13 <=> 9a^2 +3b -86 =1 <=> 3a^2 + b=29 => a \leq 3 <=> -3 \leq a \leq 3 $
Từ đó tìm ra $b$ xong thử vô coi thỏa không là xong
- thaibuithd2001 likes this
#3
Posted 08-02-2016 - 15:37
Bổ đề
Chứng minh: $3^{3n+1} + 10 \vdots 13 $
Với $n=0,1$ đúng
Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh đúng với $n=k+1 $
Ta có $3^{3k+4} +10 = 27.3^{3k+1} +10=26.3^{3k+1} + 3^{3k+1} +10 \vdots 13 $
Do đó $3^{3n+1} +10 \vdots 13 $
Ta có $9a^2 + 3b -86 \equiv 1 $ (mod 3 )
Do đó $A \vdots 13 $
A nguyên tố $<=> A=13 <=> 9a^2 +3b -86 =1 <=> 3a^2 + b=29 => a \leq 3 <=> -3 \leq a \leq 3 $
Từ đó tìm ra $b$ xong thử vô coi thỏa không là xong
Một cách khác,cũng hơi giống cách này một chút ít
Bổ đề: Với $a;b$ $\epsilon$ $N$ , $b$ $\neq$ $0$
Nếu $a \equiv b$ ($mod$ $2b$) thì $a \equiv 0$ ($mod$ $b$)
Quay lại bài toán
Ta có: $3^{9a^2+3b-86} \equiv$ 1,3,9 ($mod$ $26$)
do đó $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ $\equiv$ $11,13,19$ ($mod$ $26$)
đặt $k=9a^2+3b-86$ dễ thấy $k \equiv 1$ ($mod$ $3$)
TH1: $A \equiv 11$ ($mod$ $26$) => $3^k-1$ $\equiv$ $0$ (mod 26) => $k$ chia hết cho $3$ (vô lý)
TH2: $A \equiv 19$ ($mod$ $26$) => $3^k-9$ $\equiv$ $0$ (mod 26)
Mà $3^k-9=9(3^{k-2}-1)$
$gcd(9;26)=1$
nên $3^{k-2}-1$ $\equiv$ $0$ (mod 26) ,từ đây theo TH1 ta suy ra được $k-2$ chia hết cho $3$ => $k \equiv 2$ (mod 3) (vô lý)
TH3:$A \equiv 13$ ($mod$ $26$) thì từ bổ đề suy ra được $A \vdots 13$ => $A=13$ => $3^{9a^2+3b-86}=3$ => $9a^2+3b=87$ đây là phương trình nghiệm nguyên với $a,b$ là các số tự nhiên nên dễ kiếm nghiệm.
Edited by thaibuithd2001, 08-02-2016 - 15:38.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users