Chủ đề này có 2 trả lời

[royal1534]

Bài toán:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh $\sum \frac{c(a^2+b^2)}{a^2(a+c)+b^2(b+c)} \leq \frac{3}{2}$

P/s:Hy vọng nhận được nhiều lời giải từ các bạn  

[Chris yang]

Bài toán:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh $\sum \frac{c(a^2+b^2)}{a^2(a+c)+b^2(b+c)} \leq \frac{3}{2}$

P/s:Hy vọng nhận được nhiều lời giải từ các bạn  

Lời giải 1.

Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT S.Vac

$VT=\sum \frac{c(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2+b^2-ab)+c(a^2+b^2)}\leq \sum \frac{c(a^2+b^2)}{(a+b)\left (\frac{a^2+b^2}{2} \right)+c(a^2+b^2)}=\sum \frac{2c}{a+b+2c}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c} \right )=\frac{3}{2}$

[royal1534]

Lời giải 1.

Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT S.Vac

$VT=\sum \frac{c(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2+b^2-ab)+c(a^2+b^2)}\leq \sum \frac{c(a^2+b^2)}{(a+b)\left (\frac{a^2+b^2}{2} \right)+c(a^2+b^2)}=\sum \frac{2c}{a+b+2c}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c} \right )=\frac{3}{2}$

Lời giải của chị thế là chuẩn rồi.Mấu chốt của bài toán là ở bổ đề này: $2(a^3+b^3) \geq (a+b)(a^2+b^2)$ (Với mọi $a,b>0$).

Và hi vọng các bạn có thể sáng tạo thêm 1 vài bài toán hay từ bổ đề này 

P/s:Cảm phiền chị đăng lời giải 2 được không ạ