Chủ đề này có 1 trả lời

[tienquan88]

cho tam giác http://dientuvietnam...x.cgi?ABCnhọn.D BC
1 đường tròn qua http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A,D cắt http://dientuvietnam...metex.cgi?AB,AC tại http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M,N
CMR nếu có 2 đường tròn như thế có hình chiếu của MN lên BC là bằng nhau thì mọi đường tròn qua http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A,D thì hình chiếu của MN lên BC là ko đổi

[neverstop]

mình giải thế này:

gọi E, F là hình chiếu của D trên AB, AC. E', F', M', N' là hình chiếu của E, F, M, N trên BC.
ta có: E'F' - M'N' = E'M' - F'N' = EMcosB - FNcosC
do nên 2 tam giác DNF và DME đồng dạng, nên , suy ra E'F' - M'N' = .
nếu có 2 cặp điểm M, N thỏa mãn điều kiện thì , từ đó suy ra với mọi cặp điểm M, N thì hình chiếu của MN trên BC đều bằng nhau.

thực ra từ đẳng thức có thể suy ra điểm D là giao điểm của AO với BC. kết luận về hình chiếu của MN trên BC có độ dài không đổi vẫn đúng khi D là điểm bất kỳ trên AO (do phép vị tự tâm A).
ngoài ra với điểm D bất kỳ trên BC thì các đường tròn (BDM), (CDN) luôn tiếp xúc với nhau (chứng minh = góc định hướng, đây là trường hợp đặc biệt của định lý Miquel).