Chủ đề này có 1 trả lời

[I Love MC]

Tìm các bộ ba $(x,y,n)$ nguyên dương sao cho $(x,n+1)=1$ và $x^n+1=y^{n+1}$
Indian  MO 1998 (Như đã nghe theo a Toàn )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 12-02-2016 - 18:31

[Chris yang]

Giải như sau:

Phương trình $x^n=y^{n+1}-1$

Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kỳ của $y-1\Rightarrow p|x$. Mà $\gcd(x,n+1)=1$ nên $\gcd(p,n+1)=1$.  Do đó ta có $v_p(y^{n+1}-1)=v_p(y-1)+v_p(n+1)=v_p(y-1)$

$\Rightarrow p\nmid y^{n}+y^{n-1}+...+y+1\rightarrow \gcd(y-1,y^n+y^{n-1}+...+y+1)=1$.

Kết hợp với phương trình đầu tiên suy ra $y-1=a^n,y^n+y^{n-1}+...+y+1=b^n$ với $ab=x$

Khi đó, sử dụng phương pháp kẹp dễ thấy rằng $y^n<b^n\leq (y+1)^n\Leftrightarrow y<b\leq y+1\Rightarrow b=y+1$. Dấu $=$ xảy ra khi $n=1$ 

Bộ $(x,y,n)=(y^2-1,y,1)$

 

P.s: ngoài ra có thể sử dụng giả thuyết Catalan. Xét $y^{n+1}-x^n=1$. Xét $n>1$ thì $(y,n+1,x,n)=(3,2,2,3)$ ( vô lý) nên $n=1$. Khi đó ta cũng được bộ $(x,y,n)=(y^2-1,y,1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 25-02-2016 - 02:39