Cho $a,b,c>0$.CMR: $\sum \frac{1}{a}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$
#1
Đã gửi 14-02-2016 - 10:18
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}$
- chaubee2001, thanhmylam và Integralization1995 thích
#2
Đã gửi 14-02-2016 - 10:59
$2VP=\sum \frac{4a+2b}{a(a+2b)}=\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{3}{a+2b}$
Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{1}{a}\geqslant \sum \frac{3}{a+2b}$(luôn đúng theo C-S)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 14-02-2016 - 10:59
- luukhaiuy, PlanBbyFESN, Minhnguyenthe333 và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 14-02-2016 - 18:06
Cho $a,b,c>0$.CMR:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}$
Một cách khác, không đẹp như cách trên nhưng chặt chẽ, S.O.S:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}\Leftrightarrow \frac{1}{a}- \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{1}{b}-\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{1}{c}-\frac{2c+a}{c(c+2a)}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\frac{b-a}{a(a+2b)}+(b-c)^{2}\frac{c-b}{b(b+2c)}+(c-a)^{2}\frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0$
Đến đây do tính hoán vị nên giả sử b là số nằm giữa a và c nhưng do tương tự nên ta chỉ xét:
$a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0$
$\Rightarrow (a-c)^{2}=(a-b+b-c)^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}$
Cần chứng minh: $\frac{b-a}{a(a+2b)}+\frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0;\frac{c-b}{b(b+2c)}+\frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0$
................................ Quy đồng lên dựa vào $a\geq b\geq c$ là xong!
p/s: Bài này đưa ra cách này cũng là do có người nói cứ đưa ra thôi @; chứ nên theo cách trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 14-02-2016 - 18:32
- Minhnguyenthe333, ineX và Integralization1995 thích
#4
Đã gửi 14-02-2016 - 18:48
Mình chưa hiểu ở phần : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}$ (bài viết của bạn quoccuonglqd)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 14-02-2016 - 18:49
"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid
#5
Đã gửi 14-02-2016 - 19:02
Mình chưa hiểu ở phần : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}$ (bài viết của bạn quoccuonglqd)
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}$
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{b+2c}$
$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{c+2a}$
.............................
- tquangmh yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh