Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y\in \mathbb{Z}$.Giả sử $A_1A_2A_3...A_n$ là một $n$ giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên.Biết rằng miền đa giác đó không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$.Chứng minh rằng $n\leqslant 4$.

[I Love MC]

Ta có nhận xét như sau : Xét hai điểm $A(x_1,y_1);B(x_2,y_2)$ khi đó trung điểm $AB$ có tọa độ là : 
$K(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ . Từ đó nếu $x_1,x_2$ cùng tính chẵn lẻ và $y_1,y_2$ cũng vậy thì $K$ có điểm nguyên. 
Xét $n=5$ thì theo nguyên tắc Dirichlet : thì tồn tại $3$ điểm có hoành độ cùng tính chẵn lẻ và tồn tại $2$ điểm có tung độ cùng tính chẵn lẻ (với $3$ điểm có hoành độ cùng tính chẵn lẻ đã cho) do đó trung điểm của hai đoạn nối này là một số nguyên . Từ đó bằng phương pháp phản chứng thì không khó khăn gì với $n>5$ . 
Với $n=4,3$ ta có thể chỉ ra trên đồ thị 
 

[anhquannbk]

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y\in \mathbb{Z}$.Giả sử $A_1A_2A_3...A_n$ là một $n$ giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên.Biết rằng miền đa giác đó không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$.Chứng minh rằng $n\leqslant 4$.

Tọa độ của mỗi đỉnh thuộc một trong bốn dạng (chẵn; chẵn), (lẻ; lẻ), (chẵn; lẻ), (lẻ; chẵn)

Giả sử $ n\ge 5 $ Theo nguyên lý $ Dirichlet $ thì tồn tại hai điểm mà tọa độ của hai điểm này thuộc cùng một dạng.

Giả sử hai điểm đó là $ M(x_{1}, y_{1}) $ và $ N(x_{2}, y_{2} ) $

Gọi $ P $ là trung điểm của $ MN $ có tọa độ là $ P(x,y) $, ta có $ P $ thuộc miền của đa giác

Ta có: $ x=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \epsilon Z $

$ y=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2} \epsilon Z $

điều này mâu thuẫn với giả thiết miền đa giác đó không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh $ A_1,A_2,...,A_n $

Vậy $ n \le 4 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 17-02-2016 - 21:51