Chủ đề này có 3 trả lời

[dreamcatcher170201]

Tìm Max $T=\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$
với $a;b;c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

[Namthemaster1234]

Tìm Max $T=\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$
với $a;b;c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

Ta chứng minh $ T \leq \frac{7}{2}$

 

Thật vậy bất đẳng thức tương đương với $7a^2b^2c^2+ 3\sum a^2b^2+\sum a^2+1 \geq 2(\sum a^4c^2+\sum a^4)$

 

Do $a,b,c \leq 1$ nên $\sum a^4c^2 \leq \sum a^2b^2$ và $\sum a^4 \leq \sum a^2$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh $7a^2b^2c^2+\sum a^2b^2+1 \geq \sum a^2$

 

Tương đương với $(1-a^2)(b^2-1)(c^2-1)+8a^2b^2c^2 \geq 0$ Hiển nhiên đúng vì $a^2,b^2,c^2 \leq 1$

 

Vậy $MaxT=\frac{7}{2}$. Dấu bằng là các hoán vị của $0,0,1$

[quoccuonglqd]

Một cách khác

Đổi biến $(a^{2}+1,b^{2}+1,c^{2}+1)\rightarrow (x,y,z)$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c\Rightarrow x\geqslant y\geqslant z$

Ta có $(x-y)(z-y)\leqslant 0\Rightarrow xz+y^{2}\leqslant yz+xy\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leqslant \frac{x}{z}+1$

Ta cần tìm cực trị $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}$ đại lượng này max = $\frac{5}{2}$ với $x,y,z\in\left [ 1,2 \right ]$ 

[KietLW9]

Đây nha: https://diendantoanh...1x21leq-frac72/