Chủ đề này có 1 trả lời

[thienthan291999]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y \epsilon \left ( 0;1 \right ) & & \\ & \left ( x^{3}+y^{3} \right )\left ( x+y \right )=xy\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right ) & \end{matrix}\right.$

 

Tìm Min P=  $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} +3xy-(x^{2}+y^{2})$

[rainbow99]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y \epsilon \left ( 0;1 \right ) & & \\ & \left ( x^{3}+y^{3} \right )\left ( x+y \right )=xy\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right ) & \end{matrix}\right.$

 

Tìm Min P=  $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} +3xy-(x^{2}+y^{2})$

P max hay min vậy bạn

nếu max thì làm như sau:

$\left ( x^{3}+y^{3} \right )\left ( x+y \right )=xy\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )$ $\Leftrightarrow \left ( \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x} \right )(x+y) =(1-x)(1-y)$ (1)

Ta có: $\left ( \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x} \right )(x+y)\geq 4xy$

và: $(1-x)(1-y)=1-(x+y)+xy\leq 1-2\sqrt{xy}+xy$

$\Rightarrow 1-2\sqrt{xy}+xy\leq 4xy\Leftrightarrow 0< xy\leq 9$

Dễ dàng chứng minh được: $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{1}{1+xy}$ (với $0<x,y<1$)

$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \leq 2\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}.\frac{1}{1+y^{2}}}\leq \sqrt{2.\frac{2}{1+xy}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}} $

$3xy-x^{2}-y^{2}\leq xy$

$\rightarrow P\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+xy$

Đến đây đặt $xy=t$ rồi đạo hàm dựa trên điều kiện phía trên