Cho $(x_{n})$ $\left\{\begin{matrix} x_{1}=a> 1 & & \\ 2010x_{n+1}=x_{n}^{^{2}}+2009x_{n} & & \end{matrix}\right.$ với $n\epsilon N^{*}$
Xét dãy số $(y_{n})$ với $y_{n}=\sum ^{n}_{i=1}\frac{x_{i}}{x_{i+1}-1}$.
Tìm lim $y_{n}$
Một bài toán khá cơ bản.
Dùng quy nạp, ta chứng minh được:$x_{n}> 1$
Ta có:$2010(x_{n+1}-1)=(x_{n}-1)(x_{n}+2010)\Leftrightarrow \frac{x_{n+1}-1}{x_{n}-1}=\frac{x_{n}}{2010}+1\Leftrightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}-1}=2010(\frac{1}{x_{n}-1}-\frac{1}{x_{x+1}-1})$
Suy ra:$y_{n}=2010(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1})$
Dễ dàng ta thấy $x_{n}$ là dãy tăng.
Giả sử $x_{n}$ bị chặn trên $\Rightarrow$ $x_{n}$ có giới hạn hữu han.
Đặt lim $x_{n}$ =x (x>1)
Lấy lim hai vế của đề, ta suy ra điều vô lý.
Vậy$lim x_{n}=+\infty\Rightarrow limy_{n}=\frac{2010}{a-1}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh