Chủ đề này có 1 trả lời

[IDT]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b\leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$

[NTA1907]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b\leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$

Ta cm bđt: $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}\geq 8x^{2}y^{2}$(luôn đúng theo AM-GM)

Áp dụng bđt trên ta có:

$P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}\geq \frac{64}{(a+\frac{b}{2}+c+5)^{2}}$

Mà $a+\frac{b}{2}+c\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b+6}{2}\leq 3$(cm bằng tương đương)

$\Rightarrow P\geq \frac{64}{(5+3)^{2}}=1$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=c=1, b=2$