Chủ đề này có 14 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì: $\sqrt{(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})}\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^{2}}{bc}+1)(\frac{b^{2}}{ca}+1)(\frac{c^{2}}{ab}+1)}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 22-02-2016 - 16:44

[ngochapid]

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^{2}}{bc}+1)(\frac{b^{2}}{ca}+1)(\frac{c^{2}}{ab}+1)}$.

Bạn nghĩ đẳng thức xảy ra khi nào?

[O0NgocDuy0O]

Bạn nghĩ đẳng thức xảy ra khi nào?

Nếu có đẳng thức thì bạn có suy ra được cách làm không???

[ngochapid]

Nếu có đẳng thức thì bạn có suy ra được cách làm không???

Nếu không có đẳng thức xảy ra thì bạn có suy ra được cách làm không???

[O0NgocDuy0O]

Nếu không có đẳng thức xảy ra thì bạn có suy ra được cách làm không???

Thực sự thì mình không hiểu ý bạn cho lắm. Ý bạn là đề sai?

[ngochapid]

Thực sự thì mình không hiểu ý bạn cho lắm. Ý bạn là đề sai?

Ý mình là bạn nghĩ đẳng thức xảy ra khi nào. Chỉ có vậy thôi. Không tìm được dấu bằng thì việc giải bài toán là cực kỳ gian tuân.

[O0NgocDuy0O]

Ý mình là bạn nghĩ đẳng thức xảy ra khi nào. Chỉ có vậy thôi. Không tìm được dấu bằng thì việc giải bài toán là cực kỳ gian tuân.

Thật ra đây là một cái bổ đề nhỏ mà thầy cung cấp cho mình để giải bài khác. Thầy bảo biến đổi thôi. Mình nghĩ hình như bạn lạc sang toán cực trị rồi!!!

[ngochapid]

Thật ra đây là một cái bổ đề nhỏ mà thầy cung cấp cho mình để giải bài khác. Thầy bảo biến đổi thôi. Mình nghĩ hình như bạn lạc sang toán cực trị rồi!!!

Dù là bổ đề hay cực trị như bạn nói thì đẳng thức xảy ra vẫn là điều  bắt buộc. Mình không tìm được dấu ''='' xảy ra nên mới hỏi bạn. Không tìm được đẳng thức xảy ra sao bạn dám giải tiếp? Mình không dám.

[O0NgocDuy0O]

Cái máy em nó lag. Mod xoá hộ ạ!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-02-2016 - 17:37

[vuliem1987]

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^{2}}{bc}+1)(\frac{b^{2}}{ca}+1)(\frac{c^{2}}{ab}+1)}$.

Đề phải sửa thành chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có

$\sqrt{\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\left ( \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{bc}{a^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ca}{b^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ab}{c^{2}} \right )}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 21-02-2016 - 19:51

[quoccuonglqd]

Đề phải sửa thành chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có

$\sqrt{\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\left ( \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{bc}{a^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ca}{b^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ab}{c^{2}} \right )}$

Hình như cũng như nhau mà anh,nếu thay biến $x,y,z$ thì tùy đổi thành $(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$ hay $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$ thì bài toán sẽ được phát biểu như trên hoặc theo cách của anh

[O0NgocDuy0O]

Đề phải sửa thành chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có

$\sqrt{\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\left ( \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{bc}{a^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ca}{b^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ab}{c^{2}} \right )}$

Em thấy đề đúng mà anh. Mong anh giải giúp em.

[Dinh Xuan Hung]

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^{2}}{bc}+1)(\frac{b^{2}}{ca}+1)(\frac{c^{2}}{ab}+1)}$.

 

Câu 45:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với

 

$\sqrt{\left ( \sum \frac{a}{b} \right )\left ( \sum \frac{b}{a} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\coprod\left ( 1+\frac{a^2}{bc} \right )}(1)$

Đặt $\left ( \frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a} \right )\rightarrow (x;y;z)\rightarrow x,y,z>0;xyz=1$

Khi đó (1) trở thành:$\sqrt{(xy+yz+xz)(x+y+z)}\geq 1+\sqrt[3]{\prod \left ( \frac{x}{z}+1 \right )}\Leftrightarrow \sqrt{\prod (x+y)+xyz}\geq 1+\sqrt[3]{\prod (x+y)}(2)$

Đặt $\sqrt[3]{\prod \left ( x+y \right )}=t\Rightarrow t\geq 2$

Khi đó (2) trở thàn:$\sqrt{t^3+1}\geq 1+t\Leftrightarrow t(t-2)(t+1)\geq 0 (LĐ )$ Suy ra ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra a=b=c.

 

Link:http://diendantoanho...yên-toán/page-3

[vuliem1987]

Em thấy đề đúng mà anh. Mong anh giải giúp em.

Nhân các biểu thức trong ngoặc với nhau ta đặt 

$u=\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab};v=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

$\sqrt{3+u+v}\geq 1+\sqrt[3]{2+u+v}$ ; nếu đặt tiếp $M=\sqrt[3]{2+u+v}$ thì theo AM-GM ta có $M\geq 2$

Khi đó BĐT tương đương với  $\sqrt{M^{3}+1}\geq M+1\Leftrightarrow M\left ( M+1 \right )\left ( M-2 \right )\geq 0$

Nhưng BĐT đúng vì  $M\geq 2$ ....đpcm!

[O0NgocDuy0O]

Nhân các biểu thức trong ngoặc với nhau ta đặt 

$u=\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab};v=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

$\sqrt{3+u+v}\geq 1+\sqrt[3]{2+u+v}$ ; nếu đặt tiếp $M=\sqrt[3]{2+u+v}$ thì theo AM-GM ta có $M\geq 2$

Khi đó BĐT tương đương với  $\sqrt{M^{3}+1}\geq M+1\Leftrightarrow M\left ( M+1 \right )\left ( M-2 \right )\geq 0$

Nhưng BĐT đúng vì  $M\geq 2$ ....đpcm!

Đúng thật là hôm bữa em nhầm đề. Cảm ơn anh!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 22-02-2016 - 17:02