4 replies to this topic

[hoanglon7889]

$0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=5$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$T= \frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b}$

Edited by Ngoc Hung, 21-02-2016 - 15:59.

[quoccuonglqd]

Theo điều kiện,dễ thấy a,b,c là 3 cạnh tam giác

Ta có $a,b\leqslant 2\Rightarrow a^{2}\leqslant 2a,b^{2}\leqslant 2b$

$T\leqslant 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c})+\frac{c^{2}}{5-c}\leqslant 2(\frac{a+a}{a+b+c}+\frac{b+b}{a+b+c})+\frac{c^{2}}{5-c}=\frac{4(5-c)}{5}+\frac{c^{2}}{5-c}$

Ta khảo sát hàm $f(c)$,bạn thử xem,nếu hàm nghịch biến thì bài toán được giải quyết,nếu hàm đồng biến thì mình sai,hơi gấp nên không làm hết được 

Edited by quoccuonglqd, 21-02-2016 - 16:07.

[hoanglon7889]

Cảm ơn bạn nhưng hình như khảo sát hàm số là chương trình THPT

Bạn nào giúp cách khác cho mình

Nếu có ban nào giúp bằng cách sử dụng Cô-si ngược dấu thì mình cảm ơn nhiều

[thang1308]

$\frac{4(5-c)}{5} + \frac{c^{2}}{5-c} \leq 4 hay \frac{9c^{2}-40c+100}{25-5c} \leq 4 hay c(9c-20)\leq 0$

Đúng do 0 $\leq c \leq 2$

[quoccuonglqd]

Xin lỗi hướng trên của mình sai,không làm xuất hiện đẳng thức được 

Có lẽ bài đúng phải thế này

Ta chứng minh $T\leqslant \frac{35}{12}$

Giả sử $a\geqslant c\geqslant b$

$T-\frac{5}{2}=\frac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a+b+c)(a+b+2c)(a-c)(b-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$

Vì $(a-c)(b-c)\leqslant 0$

$T-\frac{5}{2}\leqslant \frac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}$

Bất đẳng thức trở thành $\frac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}\leqslant \frac{5}{12}$

Thay $b=5-a-c$,ta cần chứng minh

$(49a^{2}-245a+294)+(12c^{2}-125c+202)\leqslant 0$(đúng với $a,c\leqslant 2$)

Đẳng thức tại $a=c=2,b=1$ và các hoán vị