4 replies to this topic

[nangcuong8e]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c > 0$. Chứng minh rằng:

 

$\sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2} \leq \frac{1}{2}$

 

P/s: Mong mọi người giải theo hướng Cauchy-Schwarz ạ.

[anhquannbk]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c > 0$. Chứng minh rằng:

 

$\sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2} \leq \frac{1}{2}$

 

P/s: Mong mọi người giải theo hướng Cauchy-Schwarz ạ.

$ \le  \dfrac{3}{7} $ chứ nhỉ ?

Edited by anhquannbk, 21-02-2016 - 21:42.

[nangcuong8e]

$ \le  \dfrac{3}{7} $ chứ nhỉ

Dấu bằng xảy ra tại $a=b;c=0$ và các hoán vị bạn ạ.

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c > 0$. Chứng minh rằng:

 

$\sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2} \leq \frac{1}{2}$

 

P/s: Mong mọi người giải theo hướng Cauchy-Schwarz ạ.

 Có gì mai lên lớp anh tìm lời giải bằng Cauchy-Schwarz sau =)) Giờ bận làm công nghệ mai thuyết trình nên gõ tạm lời giải này đã

Chuẩn hóa $a+b+c=2$ thì ta có bất đẳng thức tương đương $\sum \dfrac{a^2}{3a^2+(2-a)^2}\leq \dfrac{1}{2}$

Đến đây chú ý là với hàm $f(x)=\dfrac{x^2}{4x^2-4x+4}$ với $x\in [0;2]$ thì có $f’’(x)=\dfrac{x^3-3x^2+1}{2(x^2-x+1)^3}< 0$ với $\forall x\in [0;2]$ nên $f(x)$ lồi trên $[0;2]$, khi đó $f(x)\leq \dfrac{f(0)-f(1)}{0-1}.(x-0)+f(0)=\dfrac{f(0)-f(1)}{0-1}.(x-1)+f(1)=\dfrac{x}{4}$

Nói cách khác, ta sẽ chứng minh $f(x)\leq \dfrac{x}{4}\Leftrightarrow 4x(x-1)^2\geq 0$

Thay $x$ lần lượt bởi $a,b,c$ ta sẽ có $\sum \dfrac{a^2}{3a^2+(2-a)^2}\leq \dfrac{a+b+c}{4}=\dfrac{1}{2}$

Vậy ta có điều cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)\sim (1,1,0)$ cùng các hoán vị

[Nguyenhuyen_AG]

Xem tại đây : http://diendantoanho...c2fracb23b2ac2/