Chủ đề này có 2 trả lời

[TruongQuangTan]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0 & \\ x^{3}+y^{3}=16 & \end{matrix}\right.$

[leminhnghiatt]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0 & \\ x^{3}+y^{3}=16 & \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $x \geq 1; y \geq 1$

 

$(1) \iff 2x\sqrt{y-1}-x^2+2y\sqrt{x-1}-y^2=0$

 

$\iff 2\sqrt{x}.\sqrt{xy-x}+2\sqrt{y}.\sqrt{xy-y}-x^2-y^2=0$

 

Ta có: $2\sqrt{x}.\sqrt{xy-x} \leq xy-x+x=xy; 2\sqrt{y}.\sqrt{xy-y} \leq xy$

 

$\rightarrow 2\sqrt{x}.\sqrt{xy-x}+2\sqrt{y}.\sqrt{xy-y}-x^2-y^2 \leq 2xy-x^2-y^2=-(x-y)^2$

 

$\rightarrow -(x-y)^2 \geq 0$

 

$\iff x=y$

 

Thay xuống (2): $\iff x=y=2$

[NTA1907]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0 & \\ x^{3}+y^{3}=16 & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\geq 1, y\geq 1$

Áp dụng AM-GM ta có:

$2x\sqrt{y-1}\leq \frac{x^{2}+4y-4}{2}$

$2y\sqrt{x-1}\leq \frac{y^{2}+4x-4}{2}$

$\Rightarrow 0\leq \frac{x^{2}+4y-4}{2}+\frac{y^{2}+4x-4}{2}-x^{2}-y^{2}$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-2)^{2}\leq 0$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=2$

Thay vào pt(2) thoả mãn

Vậy $(x,y)=(2;2)$