Chủ đề này có 1 trả lời

[loanle213]

Cho $a,b,c> 0$ và$abc=1$

Tìm GTNN của:$\frac{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}}}{ab}{}+\frac{\sqrt{1+b^{2}+c^{2}}}{bc}{}+\frac{\sqrt{1+c^{2}+a^{2}}}{ca}{}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loanle213: 26-02-2016 - 15:45

[superpower]

Cho $a,b,c> 0$ và$abc=1$

Tìm GTNN của:$\frac{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}}}{ab}{}+\frac{\sqrt{1+b^{2}+c^{2}}}{bc}{}+\frac{\sqrt{1+c^{2}+a^{2}}}{ca}{}$

Do dấu bằng xảy ra tại tâm nên ta dự đoán min bằng $3\sqrt{3} $

Áp dụng bđt đẳng thức AM-GM: $a^2+b^2 \geq 2ab=\frac{2}{c} $

Do đó, bđt cần chứng minh trở thành với 

$\sum \frac{\sqrt{1+\frac{2}{c}}}{\frac{1}{c}} = \sqrt{c^2+2c} $

Ta có $a^2+2a = a^2+a+a  \geq 3\sqrt[3]{a^4} $

Do đó, ta cần chứng minh 

$\sqrt{3}( \sum \sqrt[6]{a^4}) \geq 3\sqrt{3} <=> \sum \sqrt[6]{a^4} \geq 3 $ ( đúng theo AM-GM) 
Do đó min bằng $3\sqrt{3}$ khi $a=b=c=1$