Chủ đề này có 2 trả lời

[halloffame]

Cho dãy số nguyên vô hạn $(u_{n})$ sao cho trong các số hạng của dãy, có vô số số dương và vô số số âm;ngoài ra với mọi $n$ nguyên dương, ta đem $n$ số từ $u_{1}$ đến $u_{n}$ chia cho $n$ thì được $n$ số dư khác nhau. Chứng minh mọi số nguyên đều xuất hiện trong dãy $(u_{n})$ đúng một lần.

[IHateMath]

IMO 2005 bài số 2

[IHateMath]

Lời giải (THTT 343) Ta có các nhận xét sau:

(1) với i<j thì $u_i\ne u_j$, vì nếu $u_i=u_j$ thì các số trong tập {$u_1,u_2,...u_n$} khi chia cho j chỉ cho không quá j-1 số dư khác nhau 

(2) nếu i<j$\le n$ thì $|u_i-u_j|\le n-1$ vì nếu m=$|u_i-u_j|$>n-1 thì các số $u_1,u_2,...u_m$ cho ta nhiều nhất là m-1 số dư trong phép chia cho m 

(3) với mỗi $n\ge 1$, {$u_1,u_2,..u_n$} là tập gồm n số nguyên liên tiếp. thật vậy, với mỗi $n\ge 1$, kí hiệu i(n) và j(n) theo thứ tự là chỉ số của số lớn nhất và nhỏ nhất của dãy $u_1,u_2,...u_n$. theo (1) n số này nhận n giá trị đôi một khác nhau từ $u_{i(n)}$ tới $u_{j(n)}$ hay là |$u_{j(n)}-u_{i(n)}|\ge n-1$. Theo (2) lại có |$u_{j(n)}-u_{i(n)}|\le n-1$ nên |$u_{j(n)}-u_{i(n)}|$= n-1 và ${u_1,...,u_n}$ là tập {$u_{i(n)},u_{i(n)+1},...u_{j(n)}$}.

Từ (1) suy ra mỗi số nguyên xuất hiện nhiều nhất một lần trong dãy $(u_n)$. bây giờ xét một số nguyên x tùy ý. Do dãy có vô số số hạng âm, nên tồn tại $u_i<x$, và do có vô số số hạng dương nên tồn tại $u_j$>x. với $n\ge max(i,j)$ dãy $u_1,...,u_n$ chứa x, theo (3)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 29-03-2016 - 23:39