Chủ đề này có 10 trả lời

[baopbc]

Bài toán là một mở rộng của bài toán tuần 5 tháng 12 chuyên mục: Mỗi tuần một bài toán:

Cho $\triangle ABC$ có $\angle BAC=45^{\circ}$. Đường cao $BE,CF$. $EF$ cắt $BC$ tại $L$.$X$ là trung điểm $BC$. $H$ là trực tâm. $LH$ cắt $AX$ tại $M$. Đường đối trung của $A$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại $N$. Chứng minh: $M$ đối xứng $N$ qua $EF$.

Mình từng thử giải bài này để giải quyết bài toán tuần 5 tháng 12 nhưng đi vào ngõ cụt, lâu rồi mình cũng không giải lại. Bài tuần 5 tháng 12 chỉ là một hệ quả của bài này và nó cũng đơn giản hơn nhiều!

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-02-2016 - 11:36

[baopbc]

Mọi người hãy đăng lời giải của mình, nếu không có thể tham khảo tại đây: http://baopbcgeo.blo...ng-12-tren.html

P.s: Tiện thể quảng cáo cái blog!

Mình sẽ đăng lời giải lên sau!

[quanghung86]

Bài toán rất hay và thú vị, thầy thấy một bài toán mở rộng hơn thế này

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn $(BOC)$ cắt $CA,AB$ tai $E,F$ khác $B,C$. Đường đối trung qua $A$ cắt $(BOC)$ tại $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng đối xứng của $M$ qua $EF$ là $N$ nằm trên trung tuyến của tam giác $ABC$.

 

Nhận xét. Dễ thấy $N$ nằm trên đường tròn $(AEF)$ nên khi $\angle BOC=90^\circ$ thu được bài của Bảo.

 

Thầy chưa thử cm nhưng chắc cũng không khó, các em thử, nếu không được thì thầy trò cùng làm !

[baopbc]

Chứng minh hồi nãy của em nếu mở rộng ra một chút có thể giải quyết được:

Trước tiên ta có một số tính chất sau đây: $EF$ cắt $BC$ tại $L$ thì $(BNC)(ENF)$ cắt nhau tại $T$. $AT$ cắt $(O)$ tại $K$ thì $AK$ là đối trung.

Đến đây phép giải sẽ tương tự với bài toán gốc! Em chưa giải thật cụ thể, mong thầy cà mọi người tiếp tục suy nghĩ để có thể hoàn thiện lời giải.

P.s: Cái này có lẽ gọi là mở rộng của mở rộng

 

 

Hình gửi kèm

• 

[quanghung86]

Mở rộng thêm nữa như sau thực ra đến đây thì cm đơn giản rồi, có thể coi nó là một bổ đề cho các bài toán trên cũng được .

Cho tam giác $ABC$ và $P$ nằm trên trung trực $BC$. Trung trực $BC$ cắt $(PBC)$ tại $S$ khác $P$. $(PBC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. $AS$ cắt $(PBC)$ tại $M$ khác $S$. $T$ đối xứng $M$ qua $EF$. Chứng minh rằng $\angle SAB=\angle TAC$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 28-02-2016 - 21:12

[viet nam in my heart]

Với bài trên làm đơn giản được như sau. Bài tổng quát vẫn làm được như vậy nếu để ý điểm đối xứng đó nằm trên $(AEF)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 28-02-2016 - 21:00

[baopbc]

Hình như nó không đúng lắm thầy ạ! Em vẽ hình ra đây:

 

Hình gửi kèm

• 

[quanghung86]

Vẽ cẩn thận đi Bảo cả điểm T nữa thầy vừa ra ngoài nên không vẽ được.

[quanghung86]

À đúng rồi, thầy bị nhầm, T đối xứng M qua EF , để thầy sửa.

[baopbc]

Lần này thì đúng rồi thầy ạ!

[quanghung86]

Viết lại đề đơn giản hơn như sau

 

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ và $P$ nằm trên trung trực $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $PBC$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. $AP$ cắt $(PBC)$ tại $Q$ khác $P$. $R$ đối xứng $Q$ qua $EF$. Chứng minh rằng $\angle QAB=\angle RAC$.

 

Giải. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $AH$ là đường cao. $AO$ cắt $EF$ tại $I$ và $L$ đối xứng $A$ qua $EF$. Ta dễ thấy tứ giác $EIDC$ có hai góc vuông tại $E$ và $C$ nên nội tiếp. Từ đó $AP.AQ=AE.AC=AI.AD=AL.AO$ nên tứ giác $OQPL$ nội tiếp. Chú ý $AQRL$ là hình thang cân nên $\angle RAO=\angle QLO=\angle QPO=\angle PAH$. Từ đó chú ý $\angle HAB=\angle OAC$ nên $\angle PAB=\angle RAC$.

Hình gửi kèm

•