Chủ đề này có 5 trả lời

[marcoreus101]

1) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}=1$. Tìm Max

$A=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng

$B=\frac{x^4y^4}{x^5+y^5+x^4y^4}+\frac{y^4z^4}{y^5+z^5+y^4z^4}+\frac{z^4x^4}{z^5+x^5+z^4x^4}$

 

3) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng

$\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}\leq \frac{3}{4}$

 

4) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{4}+\frac{b}{6}+\frac{c}{3}=1$. Chứng minh 

$\frac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\frac{27c^3}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}\geq 16$

 

[marcoreus101]

Bài 4 em có ý tưởng là dùng bất đẳng thức $\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$ nhưng không biết bất đẳng thức này đúng không mà nếu đúng thì chứng minh nó thế nào.

Ai chỉ với ạ?

[PlanBbyFESN]

3) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng

$\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 3:

$\sum \frac{4yz}{x^{2}+1}\leq \sum \frac{(y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+x^{2}+z^{2}}\leq \sum \left (\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+z^{2}} \right )=3$

 

$\Rightarrow \frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}\leq \frac{3}{4}$            (ĐPCM)

 

..................................

[Quoc Tuan Qbdh]

 

4) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{4}+\frac{b}{6}+\frac{c}{3}=1$. Chứng minh 

$\frac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\frac{27c^3}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}\geq 16$

Ta có bổ đề sau : Với các số thực dương $x;y;z;m;n;p;a;b;c$ bất kỳ ta có luôn có bất đẳng thức:

$(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \geq  (xma+ynb+zpc)^{3}(1)$ ( BĐT $Holder$ )

Chứng minh :

Đặt vế trái của $(1)$ là $A$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{m^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}+\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq 3\frac{xma}{\sqrt[3]{A}}$

$\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{n^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq 3\frac{ynb}{\sqrt[3]{A}}$

$\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{p^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq 3\frac{zpc}{\sqrt[3]{A}}$

Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

$3 \geq \frac{3(xma+ynb+zpc)}{\sqrt[3]{A}}$ suy ra điều phải chứng minh.

 

Áp dụng bổ đề vào bài toán:

Ta có: $(\frac{(a+2b)^{3}}{5c+4a}+\frac{(3c)^{3}}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^{3}}{a+2b+6c})(5c+4a+4a+4b+c+a+2b+6c)(1+1+1) \geq (a+2b+3c+c+2a)^{3}$

Hay: $\frac{(a+2b)^{3}}{5c+4a}+\frac{(3c)^{3}}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^{3}}{a+2b+6c} \geq \frac{(3a+2b+4c)^{3}}{9(3a+2b+4c)}(2)$

Mặt khác: từ giả thiết thì ta có: $3a+2b+4c=12(3)$

Kết hợp $(2)(3)$ ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 01-03-2016 - 20:53

[tran2b7i0n3h]

 

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng

$B=\frac{x^4y^4}{x^5+y^5+x^4y^4}+\frac{y^4z^4}{y^5+z^5+y^4z^4}+\frac{z^4x^4}{z^5+x^5+z^4x^4}$

 

Chỉ cần cm : Với mọi a,b dương ta có $x^{5}+y^{5}\geq x^{2}y^{2}\left ( x+y \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran2b7i0n3h: 02-03-2016 - 21:19

[quoccuonglqd]

1/Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (ab,bc,ca)$

Điều kiện trở thành $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$P=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}$

$P-3=\sum \frac{2ab}{2-2ab}=\sum \frac{2ab}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab}\leqslant \sum \frac{2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leqslant \frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})\leqslant \frac{3}{2}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{9}{2}$