Chủ đề này có 6 trả lời

[thuytdvp]

Bài 1:Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=1008.

CMR: $\sqrt{2016a+ \frac{(b+c)^{2}}{2}}$ +$\sqrt{2016b+ \frac{(c+a)^{2}}{2}}$ +$\sqrt{2016c+ \frac{(a+b)^{2}}{2}}$ $\leq$ 2016$\sqrt{2}$.

Bài 2:Cho a,b,c>0 sao cho: 6$(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$ $\leq$ 1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$.

CMR: $\frac{1}{10a+b+c}+\frac{1}{10b+c+a}+\frac{1}{10c+a+b}$ $\leq$$\frac{1}{12}$.

Bài 3:Cho x,y thỏa mãn: xy(2015-$\frac{xy}{2}$)=$\frac{x^{4}+y^{4}}{4}$-2016.

Tìm GTLN, GTNN của P=x.y

Bài 4:Cho x>1,y>1. CMR: $\frac{(x^{3}+y^{3})(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)} \geq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuytdvp: 12-03-2016 - 17:51

[nguyentinh]

Bài 2:

Ta có $3\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )\geq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2.3\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right )\geq 2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}$

$\Rightarrow 2\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )^{2}-\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-1\leq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$

Mà $\frac{1}{10a+b+c}=\frac{1}{a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+b+c}\leq \frac{1}{144}.\left ( \frac{1}{a}+...+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )= \frac{1}{144}.\left ( \frac{10}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Cmtt, Suy ra $\frac{1}{10a+b+c}+\frac{1}{a+10b+c}+\frac{1}{a+b+10c}\leq \frac{1}{144}.12.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{1}{12}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$

[leminhnghiatt]

Bài 1:Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=1008.

CMR: $\sqrt{2016a+ \frac{(b+c)^{2}}{2}}$ +$\sqrt{2016b+ \frac{(c+a)^{2}}{2}}$ +$\sqrt{2016c+ \frac{(a+b)^{2}}{2}}$ $\leq$ 2016$\sqrt{2}$.

 

Ta có: $\sum \sqrt{2016a+\dfrac{(b+c)^2}{2}} = \sum \sqrt{2a(a+b+c)+\dfrac{(b+c)^2}{2}}= \sum \sqrt{\dfrac{4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2}{2}}= \sum \sqrt{\dfrac{(2a+b+c)^2}{2}} = \sum \dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}= \dfrac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}=2016\sqrt{2}$

 

Vậy bđt luôn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 10-03-2016 - 13:10

[thang1308]

Bài 3:Cho x,y thỏa mãn: xy(2015-$\frac{xy}{2}$)=$\frac{x^{a}+y^{4}}{4}$-2016.

Tìm GTLN, GTNN của P=x.y

 

bài này sao lại là x^a vậy

[thang1308]

Bài 4:Cho x>1,y>1. CMR: $\frac{(x^{3}+y^{3})(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)} \geq 8$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

$P=\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^2)(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{2(x+y)(x^2+y^2)^2}{(x+y-2)^2}\geq 8\Leftrightarrow a.b^2\geq 4(a-2)^2 (a=x+y , b=x^2+y^2 và 2b\geq a^2)$

Ta cần chứng minh:

$a^5\geq 16a^2-16a+64\Leftrightarrow a.(a^2.(a^2-4)+4(a-2)^2+16)+32.(a-2)\geq 0 (đúng  do  a=x+y> 2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 10-03-2016 - 16:23

[thuytdvp]

bài này sao lại là x^a vậy

mik viết nhầm. Là x⁴

[thang1308]

Bài 3:Cho x,y thỏa mãn: xy(2015-$\frac{xy}{2}$)=$\frac{x^{4}+y^{4}}{4}$-2016.

Tìm GTLN, GTNN của P=x.y

 

Theo AM-GM thì $xy(2015-\frac{xy}{2})\geq \frac{x^2y^2}{2}-2016\Rightarrow -1\leq xy\leq 2016$