Chủ đề này có 9 trả lời

[leanh9adst]

Cho a,b,c $\geq 0$ và ab+bc+ca=3.CMR:$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leanh9adst: 12-03-2016 - 13:29

[tquangmh]

Từ điều kiện $ab+bc+ca=1\Rightarrow 0 \leq a;b;c \leq 1 \Rightarrow 0 \leq a^{2};b^{2};c^{2} \leq 1 \Rightarrow 1 \leq a^{2}+1;b^{2}+1;c^{2}+1 \leq 2$

$a^{2}+1\leq 2\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$

Tương tự cộng theo vế ta có đpcm

 

Dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[royal1534]

Từ điều kiện $ab+bc+ca=1\Rightarrow 0 \leq a;b;c \leq 1 \Rightarrow 0 \leq a^{2};b^{2};c^{2} \leq 1 \Rightarrow 1 \leq a^{2}+1;b^{2}+1;c^{2}+1 \leq 2$

$a^{2}+1\leq 2\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$

Tương tự cộng theo vế ta có đpcm

 

Dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài bạn giải sai vì dấu '=' xảy ra không thỏa giả thiết đề bài !

[royal1534]

Cho a,b,c $\geq 0$ và ab+bc+ca=1.CMR:$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

Sai đề không bạn.Giả thiết phải là ab+bc+ca=3 chứ.

Lời giải: (Với $ab+bc+ca=3$)

Thực hiện phép khai triển

BĐT cần chứng minh

   $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3a^{2}b^{2}c^{2}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có:$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$

                                 $\Leftrightarrow 3(a+b+c) \geq 9abc$

                                 $\Leftrightarrow a+b+c \geq 3abc$

Vậy ta quy bài toán về chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9 \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)^{2} \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

Sau khi thu gọn ta cần chứng minh:

$ab(a^{2}+b^{2})+bc(b^{2}+c^{2})+ca(a^{2}+c^{2}) \geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

$\Leftrightarrow ab(a-b)^{2}+bc(b-c)^{2}+ca(a-c)^{2} \geq 0$(Đúng)

Dấu '=' xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(0,\sqrt{3},\sqrt{3})$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 12-03-2016 - 11:57

[leanh9adst]

 

Sai đề không bạn.Giả thiết phải là ab+bc+ca=3 chứ.

Lời giải: (Với $ab+bc+ca=3$)

Thực hiện phép khai triển

BĐT cần chứng minh

   $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3a^{2}b^{2}c^{2}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có:$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$

                                 $\Leftrightarrow 3(a+b+c) \geq 9abc$

                                 $\Leftrightarrow a+b+c \geq 3abc$

Vậy ta quy bài toán về chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9 \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)^{2} \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

Sau khi thu gọn ta cần chứng minh:

$ab(a^{2}+b^{2})+bc(b^{2}+c^{2})+ca(a^{2}+c^{2}) \geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

$\Leftrightarrow ab(a-b)^{2}+bc(b-c)^{2}+ca(a-c)^{2} \geq 0$(Đúng)

Dấu '=' xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(0,\sqrt{3},\sqrt{3})$ và các hoán vị

 

à sorry ab+bc+ca=3 đấy

[hoanglong2k]

Ta có bất đẳng thức tương đương $\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2}{a(a+b+c)+2a^2+bc}\leq \dfrac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $\sum \dfrac{a^2}{a(a+b+c)+2a^2+bc}\leq \sum \dfrac{a^2}{4}\left (\dfrac{1}{a(a+b+c)}+\dfrac{1}{2a^2+bc}\right )=\dfrac{1}{4}+\sum \dfrac{a^2}{4(2a^2+bc)}$

Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1$ hay $\sum \dfrac{bc}{2a^2+bc}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $\sum \dfrac{(bc)^2}{2a^2bc+b^2c^2}\geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)}=1$

Nên ta có điều cần chứng minh

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c $\geq 0$ và ab+bc+ca=3.CMR:$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ thì $ab \geqslant 1$ khi đó áp dụng bất đẳng thức quen thuộc

\[\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1} \geqslant \frac{2}{ab+1},\]

ta được bài toán về chứng minh

\[\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1} \geqslant \frac{3}{2},\]

hay là

\[\frac{2}{4ab+bc+ca}+\frac{1}{3c^2+ab+bc+ca} \geqslant \frac{3}{2(ab+bc+ca)},\]

hoặc

\[\frac{3c\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc \right ]}{2(4ab+bc+ca)(3c^2+ab+bc+ca)(ab+bc+ca)} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 13-03-2016 - 19:02

[tquangmh]

Bài bạn giải sai vì dấu '=' xảy ra không thỏa giả thiết đề bài !

Dạ, em cảm ơn anh sửa dùm 

[hoanglong2k]

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ thì $ab \geqslant 1$ khi đó áp dụng bất đẳng thức quen thuộc

\[\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1} \geqslant \frac{2}{ab+1},\]

ta được bài toán về chứng minh

\[\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1} \geqslant \frac{3}{2},\]

 Em nghĩ đến chỗ này làm thế này sẽ gọn hơn ạ

 Bất đẳng thức trên tương đương với $2(2c^2+ab+3)\geq 3(ab+1)(c^2+1)\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc$

 Áp dụng AM-GM thì $3(a+b+c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$ nên ta có điều cần chứng minh

 Em cũng biết tư tưởng là đồng bậc hóa rồi AM-GM nhưng việc đồng bậc sau có lẽ sẽ gọn gàng hơn phần nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-03-2016 - 20:37

[Nguyenhuyen_AG]

 Em nghĩ đến chỗ này làm thế này sẽ gọn hơn ạ

 Bất đẳng thức trên tương đương với $2(2c^2+ab+3)\geq 3(ab+1)(c^2+1)\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc$

 Áp dụng AM-GM thì $3(a+b+c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$ nên ta có điều cần chứng minh

 Em cũng biết tư tưởng là đồng bậc hóa rồi AM-GM nhưng việc đồng bậc sau có lẽ sẽ gọn gàng hơn phần nào

 

Đúng là không thuần nhất thì sau khi quy đồng nó sẽ thành $c(a+b+c-3abc) \geqslant 0$ hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM và hướng này khá gọn Thật ra sau khi áp dụng bất đẳng thức quen thuộc kia anh cũng định dùng Cauchy-Schwarz để đánh giá gì đó nhưng không có ý tưởng nên anh thuần nhất và quy đồng nó lên xem như thế nào ai ngờ kết quả ra một bất đẳng thức hiển nhiên, lời giải này có chút may mắn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 16-03-2016 - 18:20