Chủ đề này có 5 trả lời

[tanthanh112001]

làm bộ đề này cho vui nào mọi người. đó là đề thi HSG toán trường mình :

Bài 1 : (2,0đ) Phân tích đa thức thành nhân tử :

   a) $x^{3}-19x-30$                                                         b) $x^{4}+2016x^{2}+2015x+2016$

Bài 2 : (1,5đ) Cho a, b, c là 3 số không âm. C/m : $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

Bài 3 : (1,5đ) Tìm GTLN của biểu thức : $A= \frac{2x^{2}-8x+13}{x^{2}-4x+5}$

Bài 4 : (1,5đ) Chứng minh : $P=n^{3}-n+5$ không chia hết cho 16 với mọi số tự nhiên n lẻ.

Bài 5 : (3,5đ) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC. 

        a) Tính diện tích của tứ giác AMND theo a .

        b) Phân giác của $\widehat{CDM}$ cắt BC tại P. Chứng minh : $DM=AM+CP$.

các bạn làm hết thì mình sẽ đăng bộ đề mới. ai có đề hay thì cũng có thể đăng lên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 14-03-2016 - 14:22

[adamfu]

Câu 2:

Ta có

$(a+b)^{2}\geq 4ab$

$(b+c)^{2}\geq 4bc$

$(c+a)^{2}\geq 4ca$

$\Rightarrow (a+b)^{2}(b+c)^2(c+a)^2\geq 64a^{2}b^2c^2$

$\Rightarrow đpcm$

Dấu = xrk a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adamfu: 14-03-2016 - 20:41

[adamfu]

Bài 3 : (1,5đ) Tìm GTLN của biểu thức : $A= \frac{2x^{2}-8x+13}{x^{2}-4x+5}$

$= 2+\frac{3}{x^{2}-4x+5}$

$=(x-2)^2+1$

mà $(x-2)^2$$\geq 0$

$\Rightarrow (x-2)^2+1\geq 1$

$\Rightarrow \frac{3}{(x-2)^2+1}\leq 3$

......

Dấu = xrk x=2

[chaubee2001]

Bài 3 : (1,5đ) Tìm GTLN của biểu thức : $A= \frac{2x^{2}-8x+13}{x^{2}-4x+5}$

Đặt $A(x)=\frac{2x^{2}-8x+13}{x^{2}-4x+5}$. Do $x^2-4x+5=(x-2)^2+1 \geq 1>0 \forall x \in R$
nên $A(x)$ xác định trên tập số thực.
Với $\forall x \in R$, luôn tồn tại 1 số $A(x')$ sao cho $A(x')=\frac{2x'^{2}-8x'+13}{x'^{2}-4x'+5}$ đạtGTLN. Khi đó:
$A(x')=\frac{2x'^{2}-8x'+13}{x'^{2}-4x'+5}\Leftrightarrow A(x')(x'^2-4x'+5)=2x'^2-8x'+13$
$\Leftrightarrow x'^2(A(x')-2)-x'4(A(x')-2)+5A(x')-13=0(*)$
Coi $(*)$ là phương trình bậc 2 ẩn $x'$, ta có:
Để $A(x')$ đạt GTLN thì $pt(*)$ phải có nghiệm $x'$
tức là $\Delta'_{(x')}=(2(A(x')-2))^2-(A(x')-2)(5A(x')-13) \geq 0$
$\Leftrightarrow -A(x')^2+7x-10 \geq 0 \Leftrightarrow A(x')^2-7x+10 \leq 0$
$\Leftrightarrow (A(x')-2)(A(x')-5) \leq 0$
$\Leftrightarrow 2 \leq A(x') \leq 5$
Dấu "=" xảy ra khi $x'=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 14-03-2016 - 21:51

[Element hero Neos]

Bài 4 : (1,5đ) Chứng minh : $P=n^{3}-n+5$ không chia hết cho 16 với mọi số tự nhiên n lẻ.

$n$ lẻ nên $P=n^{3}-n+5$ luôn lẻ, $Q.E.D$

[tanthanh112001]

các bạn làm bài 5 hộ mình (câu b). vì mình vẫn chưa ra