Câu I:(4 điểm)
a/ Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Hãy tìm số tự nhiên n biết:
$S(n)=n^{2}-2016n+8$ và $0< S(n)\leq n$
b/ Tính giá trị biểu thức:
$A=\sqrt{\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2015^{2}}+\frac{1}{2016^{2}}}$
Câu II:(4 điểm)
a/ Giải pt: $\frac{x}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x^{2}-5x-2}-2=0$
b/ Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2} & & \\ (x+y)(1+xy)=4x^{2}y^{2}& & \end{matrix}\right.$
Câu III:(4 điểm)
a/ Tìm tất cả các nghiêm nguyên (x;y) của pt: $5(x^{2}+xy+y^{2})=7(x+2y)$
b/ Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn:
$\frac{pq}{p+q}=\frac{m^{2}+1}{m+1}$
Câu IV:(6 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d ( B nằm giữa A và C)
Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến vs đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt (O) tại P và Q ( P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a/ Chứng minh tứ giác OMNI nội tiếp
b/ Chứng minh điểm K cố định khi (O) thay đổi
c/ Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Câu V:(2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c, thỏa mãn $2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+c(\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}})=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$
