Chủ đề này có 8 trả lời

[Duy Thuong]

Câu 1: Cho 3 số a; b; c >0 thỏa mãn: a+b+c=3

Tìm Min: A= $a\sqrt{\frac{a}{b+3}}+b\sqrt{\frac{b}{c+3}}+c\sqrt{\frac{c}{a+3}}$

Câu 2: Cho x; y; z >0 và x+y+z=3

Tìm Min: B= $\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8x^{3}}+4x-2)}$

Câu 3: Cho x; y; z >0 và xyz=1

CMR: C=$\sum \frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}\geqslant 3\sqrt{3}$

Câu 4: Cho x; y;z thỏa mãn:

$\sum \frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}= 1$

CMR: $xyz\leq 1$

Câu 5: CMR Với mọi a, b, c >= 0 ta có:

$\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3} +a^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Câu 6: Cho a, b, c > 0 và a+b+c=3.

Tìm Min: D=$\sum \frac{a^{4}}{\sqrt[3]{b^{3}+7}}$

Câu 7: Cho a; b; c > 0

Tìm Min: E=$\frac{\sqrt{a^{3}c}}{\sqrt{b^{3}a}+bc}+\frac{\sqrt{b^{3}a}}{\sqrt{c^{3}b}+ac}+\frac{\sqrt{c^{3}b}}{\sqrt{a^{3}c}+ab}$

Câu 8: Cho x; y > 0 thỏa mãn:

$x^{2}+y^{2}=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}$. Tìm Min:

F= $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}$

p/s: mọi người xem tạm 8 bài trên và giải giúp em với nhé. Có bài nào mới em sẽ cập nhật thêm.

[NTA1907]

Câu 5: CMR Với mọi a, b, c >= 0 ta có:

$\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3} +a^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})=\frac{1}{abc}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c\neq 0$

[NTA1907]

Câu 3: Cho x; y; z >0 và xyz=1

CMR: C=$\sum \frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}\geqslant 3\sqrt{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$C\geq \sum \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{3}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})\geq \sqrt{3}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\sqrt{3}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$

[tungteng532000]

Câu 1: Cho 3 số a; b; c >0 thỏa mãn: a+b+c=3

Tìm Min: A= $a\sqrt{\frac{a}{b+3}}+b\sqrt{\frac{b}{c+3}}+c\sqrt{\frac{c}{a+3}}$

 

$\sum a\sqrt{\frac{a}{b+3}}=2\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a(a+2b+c)}}\geq 4\sum \frac{a^2}{5a+2b+c}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{8(a+b+c)}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[tungteng532000]

 

Câu 2: Cho x; y; z >0 và x+y+z=3

Tìm Min: B= $\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8x^{3}}+4x-2)}$

 

Ta có: $\sqrt{8x^3+1}=\sqrt{(2x+1)(4x^2-2x+1)}\leq \frac{2x+1+4x^2-2x+1}{2}=2x^2+1$
do đó B$\geq \sum \frac{4x}{y(2(2x^2+1)+4x-2)}=\sum \frac{1}{y(x+1)}\geq \frac{9}{xy+yz+zx+x+y+z}\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

[tungteng532000]

 

 

Câu 6: Cho a, b, c > 0 và a+b+c=3.

Tìm Min: D=$\sum \frac{a^{4}}{\sqrt[3]{b^{3}+7}}$

 

Áp dụng bđt Holder ta có:
$D^3(b^3+7+c^3+7+a^3+7)\geq (a^3+b^3+c^3)^4 \Rightarrow D^3\geq \frac{t^4}{t+21}$ với t=$a^3+b^3+c^3\geq 3$
$\frac{t^4}{t+21}\geq \frac{27}{8}\Leftrightarrow (t-3)(t^3+3t^3+9t+\frac{189}{8})\geq 0 \Rightarrow D\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[tungteng532000]

 

Câu 8: Cho x; y > 0 thỏa mãn:

$x^{2}+y^{2}=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}$. Tìm Min:

F= $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}$

 

Ta có: $x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)}$\Rightarrow x^2+y^2\leq 1 \RightarrowF\geq x^2+y^2+\frac{4}{x^2+y^2}$$=x^2+y^2+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{x^2+y^2}\geq 2+3=5$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 18-03-2016 - 00:07

[Duy Thuong]

Áp dụng bđt Holder ta có:
$D^3(b^3+7+c^3+7+a^3+7)\geq (a^3+b^3+c^3)^4 \Rightarrow D^3\geq \frac{t^4}{t+21}$ với t=$a^3+b^3+c^3\geq 3$
$\frac{t^4}{t+21}\geq \frac{27}{8}\Leftrightarrow (t-3)(t^3+3t^3+9t+\frac{189}{8})\geq 0 \Rightarrow D\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

nhưng anh ơi em chưa học bất đẳng thức đó

[Duy Thuong]

Ta có: $x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)}$\Rightarrow x^2+y^2\leq 1 \RightarrowF\geq x^2+y^2+\frac{4}{x^2+y^2}$$=x^2+y^2+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{x^2+y^2}\geq 2+3=5$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Anh chỉnh lại Latex được không?