Chủ đề này có 1 trả lời

[fatcat12345]

Cho  có góc . Điểm  nằm trong  sao cho .  lần lượt là tâm nội tiếp của  và . CMR:   với  là bán kính đường tròn ngoại tiếp .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fatcat12345: 18-03-2016 - 00:48

[baopbc]

Bài này khá hay, mô hình nó khá giống với bài hình học ngày 2 Vietnam TST 2015! Ngoài tính chất trên nó còn có nhiều tính chất khác rất thú vị!

Lời giải của mình: Để giải quyết bài toán, ta cần có bổ đề sau: Cho $\triangle ABC$ cân nội tiếp $(O)$. $D$ là điểm bất kì trên cung $BC$ không chứa $A$. Khi đó: 

$\frac {AD}{AC}=\frac {BD+DC}{BC}$.

Chứng minh: Trên $BD$ lấy $E$ sao cho $DE=DC$. Do $\triangle CDE$ cân tại $D$ nên ta có biến đổi góc: $\angle CED=\angle CDB/2= \angle ADC $. Mặt khác lại có:

$\angle CAD=\angle CBD \Rightarrow \triangle CAD \sim \triangle CBE$

$\Rightarrow \frac {AD}{AC}=\frac {BE}{BC}=\frac {BD+DC}{BC}$. Bổ đề được chứng minh.

Quay lại với bài toán: Nhận xét rằng: $\angle BAP=\angle ACP, \angle CAP=\angle ABP$ nên $(APB)$ tiếp xúc $AC$ và đi qua $B$; $(APC)$ tiếp xúc $AB$ và đi qua $C$. Dễ thấy $\triangle APB \sim \triangle CPA (g.g)$

Do $M,N$ lần lượt là các tâm nội tiếp $\triangle APB$ và $\triangle APC$ nên dễ dàng suy ra $\triangle MPN \sim \triangle APC ;O$ thuộc $AP$ ($O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$); $M,N,O,P$ đồng viên.

$\Rightarrow \frac {AP}{AB}= \frac {PC}{AC} \Rightarrow \frac {1}{R}=\frac {1}{AP}+\frac {1}{AB}+\frac {1}{AC} \Leftrightarrow \frac {AP}{R}=1+\frac {AP}{AB}+\frac {AP}{AC}=1+\frac {PA+PC}{AC}=\frac {MP+PM}{MN}+1 \Leftrightarrow \frac {OP}{R}=\frac {MP+PM}{MN}$

Đẳng thức cuối đúng theo bổ đề nên ta có điều phải chứng minh!

Hình gửi kèm

• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 29-05-2016 - 08:03