Bài 45: Đề thi thử trường Đại học Hồng Đức
Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P= \frac{3}{2}(xyz)^2 +x^{3}+y^{3}+z^{3} -xy-yz-zx +\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$
Lời giải :
Ta sẽ chứng minh hai kết quả sau :
Nếu $x,y,z>0$ thoả $x+y+z=3$ thì :
$(1)$ $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$
$(2)$ $x^3+y^3+z^3+\dfrac{3}{2}(xyz)^2\geq \dfrac{9}{2}$
Chứng minh (1) :
Bất đẳng thức tương đương :
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \dfrac{1}{2}\left [ (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2 \right ]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\geq 9$$
Điều này đúng theo BĐT AM-GM :
$$x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$$
$$y^2+\sqrt{y}+\sqrt{y}\geq 3x$$
$$z^2+\sqrt{z}+\sqrt{z}\geq 3x$$
Chứng minh (2) :
Đặt $p=x+y+z=3$, $q=xy+yz+zx$ và $r=xyz$. Áp dụng BĐT Schur :
$$r\geq \dfrac{4pq-p^3}{9}=\dfrac{4q-9}{3}$$
Cũng có :
$$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\left [ (x+y+z)^2-3(xy+yz+zx) \right ]=3r+3(9-3q)=3r-9q+27$$
Suy ra :
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{3}{2}(xyz)^2=(3r-9q+27)+\dfrac{3}{2}r^2\geq 3.\frac{4q-9}{3}-9q+81+\dfrac{3}{2}.\left ( \dfrac{4q-9}{3} \right )^2=\dfrac{8}{3}q^2-17q+\dfrac{63}{2}$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh :
$$\dfrac{8}{3}q^2-17q+\dfrac{63}{2}\geq \dfrac{9}{2}\Leftrightarrow q\leq 3\;\vee q\geq \dfrac{27}{8}$$
Điều này là đúng vì $q=xy+yz+zx\leq \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2=3$.
Kết luận :
$$MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-05-2016 - 20:49