Chủ đề này có 1 trả lời

[NTA1907]

Với $a,b,c$ là các số thực thay đổi thoả mãn $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=\frac{16}{a+b+c}$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=(ab+bc+ca+1)^{2}-\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

[Chris yang]

Với $a,b,c$ là các số thực thay đổi thoả mãn $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=\frac{16}{a+b+c}$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=(ab+bc+ca+1)^{2}-\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

Đặt $a+b+c=x,ab+bc+ac=y$

 

Điều kiện đề bài suy ra $x^2-3y=\frac{8}{x}$. Ta đi tìm min của $P=(y+1)^2-\frac{x^2}{3}=\left (\frac{x^3+3x-8}{3x} \right)^2-\frac{x^2}{3}=f(x)$

 

Ta có $f'(x)=\frac{2(2x^6+3x^4-8x^3+24x-64)}{9x^3}=0\Leftrightarrow 2x^6+3x^4-8x^3+24x-64=0$. Phương trình này có một nghiệm âm, một nghiệm dương ( $x_1=1,6355$)

 

Xét tính biến thiên ta dễ dàng suy ra $f(x)\geq f(x_1)\approx -0,8234$.....

 

Bài này đặc dạng BĐT thi đại học, nhưng nghiệm xấu quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 19-03-2016 - 00:27