Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=2$. CMR $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\leq 1$
$a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\leq 1$
Bắt đầu bởi nangbuon, 19-03-2016 - 00:45
#1
Đã gửi 19-03-2016 - 00:45
nangbuon
-
- Thành viên
-
- 139 Bài viết
Trung sĩ
Không có kho báu nào quý bằng học thức. Hãy tích lũy nó bất cứ lúc nào có thể
#2
Đã gửi 19-03-2016 - 08:58
superpower
-
- Thành viên
-
- 492 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=2$. CMR $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\leq 1$
Chú ý ở bài này, dấu bằng xảy ra khi 1 số bằng 0, 2 số bằng nhau
Do đó, ta có thể nghĩ ngay đến bđt Schur bậc 3
Khai triển rồi ráp vô là được liền
#3
Đã gửi 19-03-2016 - 09:18
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Giả sử $a$ là số lớn nhất rong ba số $a,b,c$, khi đó: $VT=a^3(b^3+c^3)+b^3c^3\leqslant a^3(b^3+c^3)+3a^3bc(b+c)=a^3(b+c)^3$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $a(b+c)\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{4}=1$ nên $VT\leqslant 1$
- nangbuon và PlanBbyFESN thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
