Chủ đề này có 3 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{3}-y^{2}=2$

[I Love MC]

PT kinh điển Mordell 

File gửi kèm

•  4400MordellEquation (1).pdf   182.18K   121 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 19-03-2016 - 22:23

[Ego]

Bổ đề : Cho $a,b$ nguyên tố cùng nhau và thỏa $(a^2+b^2) \vdots p$ khi đó $4|(p-1)$ ($a,b$ là các số nguyên và $p$ là một số nguyên tố)
Áp dụng : Phương trình tương đương với $x^3-1=1+y^2$ . Dễ thấy $gcd(y,1)=1$ suy ra $x^3-1$ có ước nguyên tố dạng $4k+1$ suy ra nó cũng có dạng $4m+1$ (nếu có dạng $4m+3$ thì phải có ước nguyên tố dạng $4l+3$ vô lí) (với $k,m,l$ là các số nguyên)
Suy ra $x^3-1 \equiv 1 \pmod{4}$
Suy ra $x^3 \equiv 2 \pmod{4}$ (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm.

Không đúng đâu em. Bổ đề em chỉ đúng cho số nguyên tố lẻ thôi. Nếu có sự tham gia của $p = 2$ thì VT có dạng $4k + 2$ và không có mâu thuẫn đâu nhé

[I Love MC]

Không đúng đâu em. Bổ đề em chỉ đúng cho số nguyên tố lẻ thôi. Nếu có sự tham gia của $p = 2$ thì VT có dạng $4k + 2$ và không có mâu thuẫn đâu nhé

Em đã sửa lại rồi ạ