Câu 1: Cho $x y > 0 ; x+y\leq 1$
Tìm Min A=$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$
Câu 2: Cho $x y > 0 ; x+y\geq 4$
Tìm Min: B=$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{y^{3}+2}{y^{2}}$
Câu 3: Cho $x y z >0
Tìm Min: P= $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy + 2yz+zx}$
Câu 4: Cho $x y > 0 thỏa mãn x+2y=3
Tìm Min: M= $\frac{3}{x}+\frac{27}{8y}$
p/s Cô giáo em bảo là các bài trên có thể dùng phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy đó. Mọi người giúp em nha!
Câu 1:
Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp $x+y\leq 1$ ta có
$A=1-\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy} \right )+\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^2y^2}=1-\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^2y^2}\geq 1+\frac{2}{xy}\geq 1+\frac{2}{\frac{(x+y)^2}{4}}\geq 9$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=1$
Câu 2:
$B=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+y+\frac{2}{y^2}= \frac{3}{4}(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{y}{4}+\frac{2}{y^2}\geq \frac{3(x+y)}{4}+3\sqrt[3]{\frac{1}{2xy}}$
$\geq \frac{3(x+y)}{8}+\frac{3(x+y)}{8}+3\sqrt[3]{\frac{2}{(x+y)^2}}\geq 3\sqrt[9]{\frac{2.3^6(x+y)^4}{8^6}}\geq \frac{9}{2}$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=2$
Câu 3:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(\sqrt{3}-1)^2y^2+x^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xy$
$(\sqrt{3}-1)^2y^2+(\sqrt{3}-1)^2z^2\geq 2(\sqrt{3}-1)^2yz$
$(\sqrt{3}-1)^2+x^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xz$
$\Rightarrow xy+2yz+xz\leq \frac{\sqrt{3}+1}{2}(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow P\geq \frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=(\sqrt{3}-1)y=(\sqrt{3}-1)z$
Câu 4:
Sử dụng BĐT Bunhia dạng cộng mẫu $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$ ( quen thuộc). Có thể khai triển ra. Phép CM của nó cũng bắt nguồn từ Cauchy. Khi đó $M=3\left(\frac{2^2}{4x}+\frac{3^2}{8y}\right )\geq \frac{3(2+3)^2}{4(x+2y)}=\frac{25}{4}$
Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$ hay $\frac{2}{4x}=\frac{3}{8y}\Leftrightarrow x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{10}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 20-03-2016 - 23:44
