Chủ đề này có 4 trả lời

[Duy Thuong]

Câu 1: Cho $x y > 0 ; x+y\leq 1$

Tìm Min A=$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

Câu 2: Cho $x y > 0 ; x+y\geq 4$

Tìm Min: B=$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{y^{3}+2}{y^{2}}$

Câu 3: Cho $x y z >0 

Tìm Min: P= $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy + 2yz+zx}$

Câu 4: Cho $x y > 0 thỏa mãn x+2y=3

Tìm Min: M= $\frac{3}{x}+\frac{27}{8y}$

p/s Cô giáo em bảo là các bài trên có thể dùng phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy đó. Mọi người giúp em nha!

[leminhnghiatt]

Câu 4: Cho $x y > 0 thỏa mãn x+2y=3

Tìm Min: M= $\frac{3}{x}+\frac{27}{8y}$

 

Ta có:

$9M=9(\dfrac{3}{x}+\dfrac{27}{8y})=3(x+2y)(\dfrac{3}{x}+\dfrac{27}{8y})=(x+2y)(\dfrac{9}{x}+\dfrac{81}{8y}) \geq (3+\dfrac{9}{2})^2=56,25$

 

$\rightarrow M \geq 6,25$  (Theo bđt Bu-nhi-a-cop-xki)

 

Dấu "=" $\iff x=\dfrac{6}{5}; y=\dfrac{9}{10}$

[NTA1907]

Câu 1: Cho $x y > 0 ; x+y\leq 1$

Tìm Min A=$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

Ta có:

$A=1-\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}y^{2}}=1-\frac{(x+y)^{2}-2xy-1}{x^{2}y^{2}}\geq 1+\frac{2}{xy}\geq 1+\frac{2}{\frac{(x+y)^{2}}{4}}\geq 1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

[NTA1907]

Câu 2: Cho $x y > 0 ; x+y\geq 4$

Tìm Min: B=$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{y^{3}+2}{y^{2}}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$B=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+y+\frac{2}{y^{2}}=(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{y}{4}+\frac{y}{4}+\frac{2}{y^{2}})+\frac{1}{2}(x+y)\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+\frac{1}{2}.4=\frac{9}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=2$

[tranductucr1]

 

Câu 3: Cho $x y z >0 

Tìm Min: P= $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy + 2yz+zx}$

 

Nhận thấy mối quan hệ của biến x,y,z ta dự đoán dấu = xảy ra khi y=z  

$\alpha y^2+\alpha z^2+(1-\alpha)z^2+\frac{x^2}{2}+(1-\alpha)y^2+\frac{x^2}{2} \geq (xz+xy) \sqrt{2(1-\alpha)}+2\alpha yz $
Cần tìm $\alpha$ sao cho $\sqrt{2(1-\alpha)}=\alpha$=>  Chọn $\alpha =-1+\sqrt{3}$ Vì $\alpha >0$

=> Min $P=\alpha=-1+\sqrt {3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 20-03-2016 - 11:02