Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$
Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$
Mathematics may not teach us how to add love or how to minus hate. But it gives us every reason to hope that every problem has a solution- Sherline Vicky A
Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$
Ta có:
$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$(chứng minh bằng tương đương)
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq ab(a+b)+2c^{3}\geq 2\sqrt{2abc^{3}(a+b)}=2\sqrt{2.2.c^{2}(a+b)}=4c\sqrt{a+b}$
Tương tự cộng lại ta được đpcm
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[3]{2}$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leq \sqrt{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\leq \sqrt{6(a^3+b^3+c^3)}$
Nên ta chỉ cần chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 6=3abc$, hiển nhiên đúng theo AM-GM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 20-03-2016 - 12:34
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$
$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh