Chủ đề này có 3 trả lời

[Hannie]

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$

[NTA1907]

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$

Ta có:

$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$(chứng minh bằng tương đương)

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq ab(a+b)+2c^{3}\geq 2\sqrt{2abc^{3}(a+b)}=2\sqrt{2.2.c^{2}(a+b)}=4c\sqrt{a+b}$

Tương tự cộng lại ta được đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[3]{2}$

[Hoang Long Le]

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=2.Cm 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{b+a}$

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leq \sqrt{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\leq \sqrt{6(a^3+b^3+c^3)}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 6=3abc$, hiển nhiên đúng theo AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 20-03-2016 - 12:34

[KietLW9]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$