Chủ đề này có 1 trả lời

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng \[\dfrac{a-b}{ab+4b+4}+\dfrac{b-c}{bc+4c+4}+\dfrac{c-a}{ca+4a+4}\geq 0\] 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 21-03-2016 - 21:16

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng \[\dfrac{a-b}{ab+4b+4}+\dfrac{b-c}{bc+4c+4}+\dfrac{c-a}{ca+4a+4}\geq 0\] 

 Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$\frac{ab+4a+4}{ab+4b+4}+\frac{bc+4b+4}{bc+4c+4}+\frac{ca+4c+4}{ca+4a+4} \geq 3$$

$$\Leftrightarrow \frac{ab+2a+2b+4}{ab+4b+4}+\frac{bc+2b+2c+4}{bc+4b+4}+\frac{ca+2c+2a+4}{ca+4a+4} \geq 3$$

$$\Leftrightarrow \frac{(a+2)(b+2)}{ab+4b+4}+\frac{(b+2)(c+2)}{bc+4b+4}+\frac{(c+2)(a+2)}{ca+4a+4} \geq 3(*)$$

 Ta có đẳng thức sau:

$$3(a+2)(b+2)(c+2)=(ab+4b+4)(c+2)+(bc+4c+4)(a+2)+(ca+4a+4)(b+2)$$

 Do đó, theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$VT(*)=(a+2)(b+2)(c+2)\left ( \frac{1}{(c+2)(ab+4b+4)}+\frac{1}{(a+2)(bc+4b+4)}+\frac{1}{(b+2)(ca+4a+4)} \right ) $$

$$\geq (a+2)(b+2)(c+a)\frac{9}{(ab+4b+4)(c+2)+(bc+4c+4)(a+2)+(ca+4a+4)(b+2)}=3=VP(*)$$

 Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 13-07-2016 - 21:25