Chủ đề này có 12 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:   $x^3+y^3=z^3$

[tranductucr1]

Theo tôi thì phương trình này vô nghiệm đã được giải  quyết bởi Andrew 
Bạn có thể tham khảo thêm định lý cuối cùng của Ferma

[Tran Thanh Truong]

Theo tôi thì phương trình này vô nghiệm đã được giải  quyết bởi Andrew 
Bạn có thể tham khảo thêm định lý cuối cùng của Ferma

Cho em hỏi khi đi thi vào 10 Chuyên có được sử dụng định lí lớn Fermat mà không cần chứng minh không ?

[dungxibo123]

mình cũng thi vào lớp 10 nhưng mình nghĩ họ sẽ không ra một bài kỳ cục v đâu

[Bui Thao]

Định lí Fermat: 'Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x,y và z của phương trình: xⁿ + yⁿ = zⁿ trong đó n là 1 số nguyên lớn hơn 2.'

nên pt vô nghiệm!

[I Love MC]

Bổ đề (*) : Giả sử $a,b,c$ là ba số nguyên dương và $gcd(a,b)=1$. Khi đó nếu $ab=c^n$ thì tồn tại số nguyên $x,y$ để $a=x^n,b=y^n$ 
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng : 
Giả sử tồn tại . Gọi $3$ nghiệm đó là $x_0,y_0,z_0$ đôi một nguyên tố cùng nhau. 
Ta có $x_0^3+y_0^3=z_0^3$. Dễ thấy trong $3$ số có đúng một số chẵn. Giả sử $x_0$ chẵn . Trong tất cả bộ $(x_0,y_0,z_0)$ đôi một nguyên tố cùng nhau đã cho với $x_0$ chẵn. Ta chọn một bộ ba như vậy với $x_0$ nhỏ nhất . 
Đặt $u=\frac{y_0+z_0}{2},v=\frac{z_0-y_0}{2}$ ($y_0,z_0$ lẻ) 
Do $y_0,z_0$ đều lẻ và nguyên tố cùng nhau suy ra $u,v$ có tính chẵn lẻ khác nhau và nguyên tố cùng nhau.  
Từ đẳng thức suy ra $x_0^3=z_0^3-y_0^3=2v(3u^2+v^2)$ 
Đặt $x_0=2m$ ta có $m^3=\frac{v}{4}(3u^2+v^2)$ (2)
Vì $u,v$ có tính chẵn lẻ khác nhau nên $3u^2+v^2$ là một số lẻ . Từ (2) ta suy ra $4|v$ 
TRƯỜNG HỢP 1 : $3 \not | v$ khi đó $(\frac{v}{4},3u^2+v^2)=1$. (cái này bạn có thể tự chứng minh bằng cách gọi $gcd$ của chúng ,coi như đây là bài tập ) 
Ta tiếp tục lại có bổ đề sau : Giả sử $a,b$ là hai số nguyên và $gcd(a,b)=1$ sao cho $a^2+3b^2$ là một lập phương . Khi đó tồn tại $s,t \in \mathbb{Z}$ để $a=s(s^2-9t^),b=3t(s^2-t^2)$ (bổ đề Ơ-le bạn không cần chứng minh vì nó quá khó cho học sinh THCS) 
Quay trở lại vậy thì tồn tại $s,t$ nguyên sao cho $v=s(s^2-9t^2),u=3t(s^2-t^2)$ 
Vì $v$ chẵn và $u$ lẻ suy ra $s$ chẵn và $t$ lẻ . Do $(u,v)=1 \Rightarrow (s,t)=1$. Mặt khác $\frac{v}{4}$ là lập phương nên $2v$ cũng là lập phương. Từ đó suy ra $2s(s-3t)(s+3t)$ là một lập phương . Dễ chứng minh $2s,s-3t,s+3t$ đôi một nguyên tố cùng nhau (xem như là baaif tập) 
Theo bổ đề (*) thì tồn tại các số nguyên $x_1,y_1,z_1$ để $2s=x_1^3,-(s+3t)=y_1^3,s-3t=z_1^3$ 
Và do đó $x_1^3+y_1^3=z_1^3$. Như vậy $(a,b,c)$ một bộ ba số nguyên khác $0$ đôi một nguyên tố cùng nhau. $x_1$ chẵn 
Dễ chứng minh $|x_0^3|>|x_1^3|$ (mâu thuẫn !! ) 
TRƯỜNG HỢP 2 : $3|v$ đặt $v=3r$ khi đó (2) trở thành $m^3=\frac{9}{4}r(3r^2+u^2)$ 
Dễ chứng minh $gcd(\frac{9}{4}r,3r^2+u^2)=1$ (bài tập) . Áp dụng bổ đề (*) suy ra $\frac{9}{4}r,(3r^2+u^2)$ đều là một lập phương . Tiếp ta dùng bổ đề Ơ-le : 
Thì tồn tại $s,t$ nguyên sao cho $u=(s^2-9t^2)s,r=3t(s^2-t^2)$. 
Có $(u,r)=1 \Rightarrow (s,t)=1$ . $\frac{9}{4}r$ là một lập phương nên $\frac{2}{3}r$ cũng là một lập phương $\Rightarrow 2t(s-t)(s+t)$ cũng là một lập phương 
Dễ chứng minh $2t,s-t,s+t$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Áp dụng bổ đề (*) suy ra tồn tại $x_1,y_1,z_1$ để 
$2t=x_1^3,s-t=y^3,s+t=z_1^3$ . Khi đó $x_1^3+y_1^3=z_1^3$. Mặc khác $|x_1^3|=|2t| \le |\frac{2}{3}r|<2|v|<|x_0|^3$ (mâu thuẫn) 
Từ đó suy ra pt vô nghiệm nguyên dương 

 

Về việc chứng minh này thì có rất nhiều tài liệu chứng minh về cái này,bạn tham khảo . Đây là một cách.

 

[I Love MC]

Thánh   

Thật ra cách chứng minh này đã có từ lâu (của ông nào bên Romani thì phải á ,t chỉ học tập lại thôi) 

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Sử dụng định lỳ Fermat lớn (đã được chứng minh bởi Andrew) thì sẽ có được pt vô nghiệm =))

[Tran Thanh Truong]

MỌI NGƯỜI CHO EM HỎI KHI ĐI THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THÌ CÓ CẦN PHẢI CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ FERMAT NHỎ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG KHÔNG Ạ ?

[I Love MC]

MỌI NGƯỜI CHO EM HỎI KHI ĐI THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THÌ CÓ CẦN PHẢI CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ FERMAT NHỎ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG KHÔNG Ạ ?

Ngoaì các kiến thức như bđt Cosi cho 2 số 3 số còn lại thì chứng minh hết

[Zaraki]

Ngoaì các kiến thức như bđt Cosi cho 2 số 3 số còn lại thì chứng minh hết

Anh nghĩ cái này phải tuỳ trường chứ nhỉ ? 

[I Love MC]

Anh nghĩ cái này phải tuỳ trường chứ nhỉ ? 

Em xem một số tài liệu ,một vài năm các trường chuyên ở Hà Nội còn phải bắt c/m Cosi 3 số . Nhưng mà bữa nay họ hạn chế sử dụng kiến thức nhiều rồi a

[Tuan Duong]

MỌI NGƯỜI CHO EM HỎI KHI ĐI THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THÌ CÓ CẦN PHẢI CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ FERMAT NHỎ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG KHÔNG Ạ ?

không cần c/m đâu, thầy mình bảo thế