2 replies to this topic

[tranductucr1]

Tồn tại hay không các số nguyên dương  $y,z,k$ có dạng $y^2+yz+z^2=k^2$ với y,z,k là các số nguyên dương

Edited by tranductucr1, 24-03-2016 - 10:48.

[Hai2003]

Giả sử PT có nghiệm $(y_1,z_1,k_1)$ với $y_1$ nhỏ nhất có thể.

 

Ta thấy nếu $y_1,z_1$ đều là số lẻ thì VT chia 4 dư 3 (vô lý vì số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1)

Tương tự nếu trong $y_1,z_1$ có 1 số lẻ và 1 số chẵn thì VT cũng chia 4 dư 3 (vô lý)

 

Suy ra $y_1,z_1,k_1$ đều chẵn, đặt $y_1=2y_2,\ z_1=2z_2,\ k_1=2k_2\ (y_2<y_1)$. PT trở thành

$(2y_2)^2+(2y_2)(2z_2)+(2z_2)^2=(2k_2)^2\\ \implies 4y_{2}^{2}+4y_{2}z_{2}+4z_{2}^{2}=4k_{2}^{2}\\ \implies y_{2}^{2}+y_{2}z_{2}+z_{2}^{2}=k_{2}^{2}$

Như vậy PT có nghiệm $(y_2,z_2,k_2)$ với $y_2<y_1$. Điều này mâu thuẫn với điều đã giả sử.

Vậy PT không có nghiệm nguyên dương

P/s

Mình làm theo phương pháp lùi vô hạn (mới học, có gì sai mọi người chỉ giúp)

[hoctrocuaHolmes]

Giả sử PT có nghiệm $(y_1,z_1,k_1)$ với $y_1$ nhỏ nhất có thể.

 

Ta thấy nếu $y_1,z_1$ đều là số lẻ thì VT chia 4 dư 3 (vô lý vì số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1)

Tương tự nếu trong $y_1,z_1$ có 1 số lẻ và 1 số chẵn thì VT cũng chia 4 dư 3 (vô lý)

 

Suy ra $y_1,z_1,k_1$ đều chẵn, đặt $y_1=2y_2,\ z_1=2z_2,\ k_1=2k_2\ (y_2<y_1)$. PT trở thành

$(2y_2)^2+(2y_2)(2z_2)+(2z_2)^2=(2k_2)^2\\ \implies 4y_{2}^{2}+4y_{2}z_{2}+4z_{2}^{2}=4k_{2}^{2}\\ \implies y_{2}^{2}+y_{2}z_{2}+z_{2}^{2}=k_{2}^{2}$

Như vậy PT có nghiệm $(y_2,z_2,k_2)$ với $y_2<y_1$. Điều này mâu thuẫn với điều đã giả sử.

Vậy PT không có nghiệm nguyên dương

P/s

Mình làm theo phương pháp lùi vô hạn (mới học, có gì sai mọi người chỉ giúp)

Sai từ đoạn này (VD:với $y=2m+1;z=2n+3$)